Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 49. Konjugierte Punkte auf gebrochenen Extremalen. 377
Während sich der Punkt Q von Po' nach Eo bewegt, dreht sich
die Gerade 0o aus der Lage 00 in die Lage 0o, und zwar durch den
Eckenwinkel, wenn Qo > 0, außerhalb desselben, wenn Q0 < 0. Bewegt sich dann Q weiter von Eo nach Po, so dreht sich die Gerade 00
weiter aus der Lage 00 in die Lage 00 und zwar außerhalb des fraglichen Winkelraumes, wenn Q > 0, innerhalb, wenn Qo < 0. Liegt Q
auf dem stärker ausgezogenen der beiden Bogen PoEEoEoPo, so tritt
die zugehörige Gerade 0o in den Eckenwinkel ein.
Aus der vorangegangenen Diskussion folgt zugleich die Umkehlrung: Zu jeder durch den Punkt Po gehenden Geraden 00, welche
in Po weder den Bogen P1Po, noch den Bogen PoP2 berührt, gehört
ein und nur ein Punkt Q zwischen P' und Po derart, daß die Eckenkurve für jede Extremalenschar (8), welche ihren Brennpunkt im
Punkt Q hat, die Gerade 00 im Punkt Po berührt.
Man erhält den zu einer gegebenen Geraden 00 gehörigen WertL
von r, indem man die Gleichung (19) nach r auflöst. Setzt man die
Werte von c, ß, y, d ein, so erhält man die Gleichung in der Form
(A0Popo + BBO(Po o + qo Ai) + Co00) (t0,r)
(24)
- (x2 + yO)(t) (o)sin ( - ) sin (0 - Oo) O(to, r) = 0;
dabei ist
Po = cos 00, q = sin 00.
Insbesondere erhält man die Gleichung für den Parameter eo des
Punktes E0, indem man in (24): 0 = 0 setzt.
c) Definition der konjugierten Punkte für gebrochene Extremalen:
Falls der zu P0 auf (o konjugierte Punkt Po existiert, wie wir für
die weitere Diskussion annehmen wollen, so besitzt auch die zur Extremalenschar (8) komplementäre Schar (15) einen Brennpunkt
Q"(t = "), und zwar zwischen P0 und Po. Zwischen rz und dem
Gefälle tg O besteht dann eine Relation (24), die aus (24) dadurch
hervorgeht, daß man die überstrichenen und unüberstrichenen Buchstaben vertauscht, da man ganz analoge Betrachtungen wie unter b)
auch für die Schar (15) anstellen kann. Daraus folgt aber, daß alle
Scharen gebrochener Extremalen, welche den Brennpunkt Q gemeinsam haben, auch den zweiten Brennpunkt Q" gemeinsam haben.
Wir nennen diesen zweiten Brennpunkt Q" den zum Pzunkt Q auf
der gebrochenen Extremalen ( o.+ (o konjugierten Punkt. Derselbe kann
nach dem eben Gesagten auch definiert werden als der Brennpiunkt