Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 48. Die Weierstraß-Erdmann'sche Eckenbedingung. 367
Wir ersetzen nunmehr die Kurve P, PoP2 durch eine benachbarte
Kurve von der Form. x =- x(t + (t), y - yy(t) + (t), t t t2,
wobei d(t), q(t) zwei willkürliche Funktionen von t von der Klasse C'
sind, welche in t, und t2 verschwinden. Das Integral J4 ist dann
gleich der Summel)
to-O t,
to -0 - 0 t
J =-JF(x y, x, y') dt fF(x, y, ' y') dt.
tl to+
Auf jedes dieser beiden Integrale können wir dann unmittelbar die
Formel (18a) von ~ 26 anwenden und erhalten
J= [F, + FY1yi;]-0 =- 0.
Wählen wir jetzt das eine Mal die Funktionen t, q so, daß
a (to) + 0, (to) = O,
das andere Mal so, daß
(to) = O, (to) + 0,
so erhalten wir den folgenden von WEIERSTRASS2) herrührenden Satz:
In jeder Ecke P, einer diskontinuierlichen Lösung miissen die
beiden Gleichungen.%,1~o-~= Fto+~, F to-~ =/5t0o+~ (2)
erfüllt sein.
1) Vgl. wegen der Bezeichnung p. 197, Fußnote 2).
2) Von WEIERSTRASS schon in seiner Vorlesung im S. S. 1865 gegeben.
Siehe CARATHEODORY, Über die diskontinuierlichen Lösungen in der Variationsrechnung, Dissertation (Göttingen, 1904), p. 3.
Unabhängig von Weierstraß hat ERDMANN (Journal für Mathematik,
Bd. LXXXII (1877), p. 21) die entsprechende Eckenbedingung für das x-Problem
gefunden und zwar in der Form
fy,)x-0 = xo+O (2b)
f-y'f, Xo-o f- y'f, i+O.
Diese Gleichungen folgen unmittelbar mittels der Gleichungen (16) von ~ 25 aus
den Weierstraß'schen. Eine direkte Ableitung derselben ist umständlicher als
für den Fall der Parameterdarstellung, vgl. z. B. BOLZA, Lectures, ~ 9.
Die Eckenbedingung (2) läßt sich nach WHITTEMORE auch aus dem DuBois-Reymond'schen Lemma von ~ 5, c) ableiten; diese Methode läßt sich auf
Diskontinuitäten von kompliziterem Charakter anwenden, ja sogar auf den Fall
von unendlich vielen Diskontinuitäten, vgl. p. 28, Fußnote 2) und p. 29, Fußnote 2).
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