Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

24 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
X2
J^(i- <-)f~) dx-O (27)
Diese Gleichung muß erfüllt sein für alle Funktionen V, welche in x,
und x, verschwinden und in [xr x2] von der Klasse C' sind.
Aus der Willkürlichkeit von X schließtl) man dann, daß dies nur
möglich ist, wenn der Faktor von Nr unter dem Integralzeichen für
sich verschwindet, und erhält so den
'Fundamentalsatz I: Soll die Funktion
y == (x)
das Integral
x2
J= f(x, y, y')dx
X!
zu einem Maximum oder Minimum machen, so muß sie der Differentialgleichung genügen:2)
fy- d f, ()
Wir werden diese Differentialgleichung nach ihrem Entdecker3) die
Eu ler'sche Differentialgleichung nennen.
Man beachte, daß die Argumente der Funktionen f, fy, sind:
x, y(x), y'(x), und daß die Differentiation totale Differentiation nach
x bedeutet, so daß die Differentialgleichung in entwickelter Form lautet:
fy - fy- fy- - fy - 0. (28)
Die obige Ableitung der Euler'schen Differentialgleichung weist
jedoch zwei erhebliche Lücken auf:
Erstens4) setzt die partielle Integration zum mindesten die
Existenz der Ableitung -- fy, voraus, und da wir von der Funktion y(x)
1) Vgl. unter b).
2) Wegen der Ausdehnung dieses Satzes auf allgemeinere Variationsprobleme vgl. die Übungsaufgaben Nr. 41-47 am Ende von Kap. III, sowie
Kap. XI und XII.
8) EULER, Methodus inveniendi etc. (1744), Kap. II, Art. 21; in STÄCKEL'S Übersetzung in OSTWALD's Klass. Nr. 46, p. 54. Die Differentialgleichung ist neuerdings vielfach die ~,L agrang e'sche Differentialgleichung" genannt worden. LAGRANGE
selbst schreibt sie EULER zu, vgl. (Euvres, Bd. X, p. 397: "Cette equation est
celle qu'EuLER a trouvee le premier."
4) Dieser Einwand ist zuerst von Du BOIS-REYMOND in der wichtigen Abhandlung: "Erläuterungen zu den Anfangsgründen der Variationsrechnung",
Mathematische Annalen, Bd. XV (1879), p. 283 erhoben worden.