Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

364 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
Ferner folgt, daß im Fall II sicher kein eigentliches Minimum
stattfinden kann. Dagegen findet in diesem Fall ein uneigentliches,
starkes Minimum statt, wenn außer der Bedingung (II') noch die Bedingung (IV') entlang e0 erfüllt ist. Denn die Bogen der Schar (4),
gerechnet von der Transversalen S bis zum Punkt P' bilden ein ~uneigentliches Feld" Y um den Bogen i, und man zeigt dann mittels
der Kneser'schen MAodifikation der Weierstraß'schen Konstruktion,
daß AtJ> 0 für jede Vergleichskurve, welche ganz in So liegt, und
welche nicht mit einer der Extrem alen der Schar identisch ist.
Wir fassen das Resultat in den folgenden Satz') zusammen:
Bei der Aufgabe, das Integral J zu einem Minimum zu machen,
wenn der Endpunkt P2 fest ist, während der erste Endpunkt auf einer
Kurve S beweglich ist (resp. ebenfalls fest ist), liefert der Extremalenbogen eo im allgemeinen kein Minimum, wenn der Punkt P2 mit
dem Brennpunkt P' von k (resp. dem zu P, konjugierten Puzkt) zusammenifällt.
Eine Ausnahme hiervon findet nur in folgenden zwei Fällen statt:
1. Wenn die Enveloppe 3 in den Punkt P_' ausartet, so liefert
der Bogen eo zwar kein eigentliches, aber doch ein uneigentliches, starkes
Minimum, falls aufßer der Bedingung (II') auch noch die Bedingung
(IV') entlang eo erfillt ist.
2. Wenn die Enveloppe 3 im Punkt Po' einen Rückkehrp;unkt von
der unter IB2) charakterisierten Art besitzt. Füir diesen Fall ist die
Frage noch unentschieden.
1) Für den Fall, daß die Enveloppe im Punkt Pf' keinen singulären Punkt
besitzt (Fall I,A), r- 1), hat schon ERDMANN mittels der dritten Variation bewiesen, daß kein Minimum stattfinden kann (Zeitschrift für Mathematik
und Physik, Bd. XXII (1877) p. 327), vgl. oben p. 69 Fußnote 3). Die Behandlung der Aufgabe mittels des Enveloppensatzes rührt von KNESER her (Mathematische Annalen, Bd. L (1898) p. 27 und Lehrbuch, ~~ 24, 25), wo die Fälle
IA), IB1) und II erledigt werden. OSGOOD (Transactions of the American
Mathematical Society, Bd. II (1901), p. 166) und später LINDEBERG, loc. cit.
p. 329, haben dann gezeigt, daß im Fall IB2) beim x-Problem ein starkes Minimum stattfindet. OSGOOD zeigt ferner, daß auch beim t-Problem ein starkes
Minimum stattfindet, wenn im Punkt P, -- P'" überdies
F(x, y2, cos 7, sin y)> 0
für alle Werte von y