Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

360 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
stimmte1), als Grenzlage der Sekante definierte Tangente, deren Gefälle gleich B:A ist. Die Gleichungen (75) zeigen, daß die Extremale (o die Enveloppe im Punkt P'' auch dann berührt, wenn
P' ein singulärer Punkt von 3 ist.
Der Einfachheit halber denken wir uns das Koordinatensystem
so gedreht, daß die positive x-Achse die Richtung der positiven Tangente an die Extremale eo im Punkt P' hat; dann ist
Pt(t7, a0) > 0 o t(t1 a0) = 0.
Die y-Achse fällt mit der Normalen R der Kurve (0 im Punkt P' zusammen.
Wir unterscheiden dann noch weiter folgende Fälle:
A) r ungerade:
d.
Dann wechselt -d sein Zeichen nicht, wenn a durch den Wert aO
ci a
hindurchgeht. Daher hat die Enveloppe in Po' keinen BRückkehrpunkt; sie tritt von der negativen2) Seite der Normalen R auf die
positive oder umnigekehrt (Fig. 64).
~~~3 4.5.
A? ]Fig. 64. F Fig. 65.
Hierher gehört der nicht-singuläre Fall r= 1.
B) r gerade:
In diesem Fall hat die Enveloppe in P' einen Piückkehrpunkt,
und zwar
1. wenn C < 0,
so liegt die Enveloppe in der Nähe des Punktes P' ganz auf der
negativen Seite der Normalen 91 (Fig. 65);
2. wenn C> 0,
so liegt die Enveloppe in der Nähe des Punktes P'1 ganz auf' der
positiven Seite der Normalen 91 (Fig. 66).
1) Wenn man darauf verzichtet der Tangente einen positiven Sinn beizulegen.
2) Die positive x-Richtung führt von der "negativen Seite" der Normalen
auf die "positive".