Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

358 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
A^(t, ao) + für t < t < t (69)
in der Tat für ein Extremum notwendig ist.
Der Beweis macht von der Betrachtung der zweiten Variation
(resp. den damit äquivalenten Untersuchungen von ~ 39) keinen Gebrauch; er gründet sich auf den in ~ 44,c) bewiesenen Enveloppensatz und gibt zugleich die Entscheidung über den bei unseren früheren
Entwicklungen von der Betrachtung ausgeschlossenen Fall, wo der
Endpunkt P2 mit dem Brennpunkt der Kurve 9 auf der Extremalen
eo zusammenfällt.1)
a) Gestalt der Enveloppe in der Nähe des Brennpunktes:
Wir behalten die Annahmen von ~ 44, a) über die Extremalenschar (4) bei, lassen aber die Voraussetzung (49) fallen und setzen im
Gegenteil voraus, daß der Extremalenbogen eo den Brennpunkt P'
der Kurve k enthält, daß also
t, < t! = t^
11 <t; <2
und gleichzeitig /(,, ()
C ~a(t~, "o) = 0, (70)
dagegen A(t, a%) + 0 für t < t < t'.
Wir stellen uns die Aufgabe, alle Lösungen (t,a) der Gleichung
A(t, a) = (71)
in der Umgebung der Stelle (t',ao) zu finden. Da nach unsern Annahmen die Funktionen F1, F,', F2 stetig sind in der Umgebung von
t = qt' und überdies F1 + 0 in tl', so schließen wir wie in ~ 29, b), daß,(til, ao) + 0. (72)
Nach dem Satz über implizite Funktionen läßt sich daher die Gleichung
(71) in der Umgebung der Stelle (t', ao) eindeutig nach t auflösen,
und die Lösung, die wir mit
t= t(a)
bezeichnen, ist in der Umgebung von a = ao von der Klasse C' und
reduziert sich für a= ao auf tl.
Die Kurve
g: x = p (t(a), a)= -(a), y/ = (t(a),a) = (a),
1) Da der folgende Beweis auch für den Fall gültig bleibt, wo die Transversale k in einen Punkt zusammenschrumpft, so erhält man damit zugleich
einen von der zweiten Variation unabhängigen Beweis der Notwendigkeit der
Jacobi'schen Bedingung für den Fall fester Endpunkte, sowie die Entscheidung
fiür den Fall, wo der Punkt P2 mit dem konjugierten Punkt P[ zusammenfällt.