Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 47. Folgerungen aus dem Enveloppensatz. 357
L(' geht alsdann durch einen Punkt P3, dessen Ordinate v a= + ist; und
wenn Pg der Fußpunkt der vom
Punkt P3 auf die Gerade u = — u '
gefällten Senkrechten ist, so ist
L>\IP3P + PP 1 >P, P2- \
d.h. 5'
L > V/i + u-, - ). l \, = ua
Bezeichnen wir daher mit s, die Fig. 63.
Fig. 63.
stets positive Größe
M = m [/ (u -2u1) + (+2 - u2)], (67)
so ist
AJ>. (68)
Somit erhalten wir den Satz:
Für den Extremalenbogen (o mögen die Bedingungen (II) und (IV') erfüllt
sein; derselbe möge sich mit einem F]eld WZ, k umgeben lassen, und es sei im Punkt P1:
F'(x1, y1,, y) + 1),
so dafß durch den Punkt P1 eine Transversale e des Feldes gezogen werden kann.
Sind dann h und k hinreichend klein gewäühlt, so gehört zu jedem positiven 1 < k
eine positive Grö/ße s derart, da/ß
A J >
für jede Variation des Bogens eo, welche die Kurve miit dem Punkt P2 verbindet
und iwelche ganz im Innern von o,, k, aber nicht g an z im Innern von o l
gelegen ist.
~ 47. Folgerungen aus dem Enveloppensatz.
Die in 46, a) eingeführte Annahme
A(t, ao) +0 in [tlt2], (49)
welche nach ~ 40 aussagt, daß der Extremalenbogen Q0 den Brennpunkt der Kurve A nicht enthalten soll, war in dem vorangegangenen
Hinlänglichkeitsbeweis für die Konstruktion eines Feldes erforderlich.
Aber aus unsern Entwicklungen geht nicht hervor, ob diese Bedingung
zugleich auch eine notwendige Bedingung für ein Extremum ist.
Wir wollen nun, in Verallgemeinerung der in ~ 43, c) für den
Fall der geodätischen Linien mitgeteilten Darboux'schen Methode,
nach KNESER2) beweisen, daß die obige Bedingung wenigstens in der
etwas milderen Form
1) Will man sich auf Variationen beschränken, welche auch den Punkt P1
fest lassen, so ist die letzte Voraussetzung nicht nötig. Die Voraussetzung (6)
braucht nach p. 355 Fußnote 2) nicht gemacht zu werden.
2) Vgl. KNESER, Mathematische Annalen, Bd. L, p. 27 und Lehrbuch,
~~ 24, 25.