Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 46. Die Kneser'schen krummlinigen Koordinaten. 355
Andererseits ist nach der Definition des Feldintegrals
J (PP,) = J, (P;P) = W(x, y) - W(x1 ) = u, - 1,.
Wegen (63) können wir aber schreiben1)
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it t- d i, dr.
12
Daher können wir die totale Variation
aJ J (P, p ) - Jo (Pt P2)
durch das entlang der Kurve ~' genommene Integral ausdrücken:
A-JS ~ G (uv,d4,?) - ~j da. (64)
Statt dessen können wir aber nach (62) schreiben
12
A J = 8(v; cos 0' sin 0'; dvr (65)
Jdv r''edr) (65)
Wegen der Bedeutung des Winkels 0' ist dies aber nichts anderes
als der WEIERSTRASS'sche Satz für die u, v-Ebene. Erinnern wir uns
jetzt der in ~ 45, b) bewiesenen Invarianz der 8-Funktion, so haben
wir hiermit einen neuen Beweis dafür gewonnen, daß die in ~ 41 aufgezählten Bedingungen für ein Minimum des Integrals J hinreichend
sind, wenn der erste Endpunkt auf der Transversalen k beweglich ist,
während der zweite fest ist, allerdings unter Hinzufügung einer
weiteren Annahme2), nämlich der Voraussetzung (6).
1) Dieser wichtige Kunstgriff ist in letzter Instanz gleichbedeutend mit der
Einführung des Hilbert'schen invarianten Integrals. Denn nach Gleichung (150)
von ~ 31 lautet dasselbe im gegenwärtigen Fall
J'* G, (u, v, cos 0', sin 0') du + Gv' ( v, cos O', sin 0') dv,
was sich wegen (55) auf
J'* = —d u
reduziert.
`) Es läßt sich zeigen, daß dieselbe keine wirkliche Beschränkung der Allgemeinheit bedeutet. Denn das vorgelegte Variationsproblem ist mit dem Problem,
das Integral der Funktion
F(x, y, x, y') + (, (x, y)x' + y (x, y)y'
unter denselben Anfangsbedingungen zu einem Minimum zu machen, äquivalent,
vorausgesetzt, daß die Funktion l (x, y) entlang der gegebenen Kurve k konstant