Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

352 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
Funktion G(u, v, u', v') folgende charakteristische Eigenschaften besitzt1):
G(u, v, u, 0) _=, (55)
G,(U,, u', 0) - 1, G( (, v', O) -=
für jedes Wertsystem u, v im Bereich St und für jeden Wert von u',
dessen Vorzeichen mit dem in L konstanten Vorzeichen der Funktion
S(t, a) übereinstimmt.
Beweis: Wegen der Ein-eindeutigkeit der Beziehung zwischen
den Bereichen no und (L können wir jede im Bereich o der x,yEbene gelegene Kurve ( in der Form
x==p (t(r), a-()), y==- (t(r), ac())
darstellen, wo dann
t = t(r), a = (r)
das Bild der Kurve ( in der t,a-Ebene ist. Das Bild von D in der,,v-Ebene ist alsdann gegeben durch
u = u(tr), a(r)) v = a(r),
und wegen (29) gilt die Gleichung
F( (t, a), t (t, ea), db T (t, a), d r t(t,a)) = G(u(t, a), du r(t ( ) d a\ (56)
wobei man sich für t, a die Funktionen t(r), a(,) gesetzt zu denken hat.
Wenn nun insbesondere die Kurve ( eine Extremale a a' der
Schar (4) ist, so ist ihr Bild in der t, a-Ebene gegeben durch
t = -, a = a', (57)
und die Gleichung (56) nimmt die Form an
a(r, a') G(u(,, a'), a" u,ut(, a', 0). (58)
Daher ist wegen (11)
ut (,r, a') = G(u (r, a'), a'" utr, a'), 0).
Jetzt sei u, v irgend ein Punkt von 3[ und u' irgend ein Wert,
welcher dasselbe Vorzeichen hat wie 5(t,a). Das Bild von u, v in
der t, a-Ebene sei r, a', so daß: u = t(,t, a'), v a'. Dann hat ut(,, a')
dasselbe Zeichen wie u'; wir können also eine positive Größe m bestimmen, so daß: u' m= ml(r, a'). Daher folgt aus (58) unter Benutzung von (31) die erste der Gleichungen (55) und aus derselben
durch Differentiation nach u' unmittelbar die zweite.
1) Die erste dieser Gleichungen ist eine Folge der beiden übrigen, wegen
der Homogeneitätsrelation:
G = u' G, + v GG,