Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

350 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
~ 46. Die Kneser'sehen krummlinigen Koordinaten und ihre
Anwendungen. 1)
Wir haben jetzt die im vorigen Paragraphen entwickelten allgemeinen Transformationsprinzipien auf den speziellen Fall der.KNESER' —
schen krummlinigen Koordinaten", welche die Verallgemeinerung der
GAuss'schen geodätischen Parallelkoordinaten sind, anzuwenden.
a) Definition der Kneser'schen krummlinigen Koordinaten:
Wir fügen jetzt den in ~ 44, a) über die Extremalenschar
x = (p(t, a), y = V (t, a) (4)
gemachten Annahmen die weitere hinzu, daß die Funktionaldeterminante A(ta) der Schar der Ungleichung
A(t, ao) + 0 in [tlt2] (49)
genügen soll, und daß auch die Ableitungen cPaa, 'Cp im Bereich (5)
existieren und stetig sind.
Dann lassen sich nach ~ 31, a) zwei positive Größen h,kJc so klein
wählen, daß das Bild of des Rechtecks
t, - h t t2 + h, \a- ao k
mittels der Transformation (4) ein Feld um den Extremalenbogen ~o
bildet, worin die Ungleichung
a(t, a) +0 in GL (50)
mit inbegriffen ist.
Wir nehmen h, Jk so klein an, daß überdies2)
Tj < t, - h, t2 + h < T,, k =ä d,
und wählen den Punkt P? der Extremalen eo, durch welchen die bei
der Definition der Funktion u(t, a) benutzte Transversale &0 {t ==- Zo(a)
hindurchgeht, so, daß: 1T to < t - 1h. Durch Verkleinerung von kJ
können wir dann schließlich noch erreichen, daß
o(a) )<t - ~ für a -k- a + + k,
so daß das Rechteck (9E ganz dem in ~ 44, a) definierten Bereich 9ß
angehört.
Die inversen Funktionen
t - t(x, y), a a(y) (51)
des Feldes sind eindeutig definiert und von der Klasse C" im Bereich Wo5
wie aus den Gleichungen (136) von ~ 31 folgt.
V) Vgl. KNESER, Lehrbuch, ~ 16.
2) Wegen der Bedeutung der Größen T', T, d vgl. ~ 44, a).