Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

348 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
Q transversal schneidet, dann auch das Bild M' von S das Bild Z'
von (E im Bildpunkt Q' von Q transversal schneidet.
Aus (43) folgt unmittelbar, daß in demselben Sinn auch die
8-Funktion eine absolute Invariante ist.
8 (u, v; u', v'; h, v) = 8 (x, y; x', y'; x, ), (44)
womit auch die Invarianz der WXeie rs tr aß 'schen Bedingung gezeigt ist.
c) Der d-Algorithmus als invariantenbildender Prozeß:
Wenn man in der eine Funktion (0 als absolute Invariante charakterisierenden Gleichung (35) für x, y willkürliche Funktionen x(r), y(v) einer Variabeln r einsetzt, für x', y'; x", y";..., deren erste, zweite,... Ableitungen nach
t, und gleichzeitig für u, v die durch die Transformation (24) aus x(v), y(r) abgeleiteten Funktionen u(r), v(r), für u', v'; u", v";... deren erste, zweite..
Ableitungen nach r, so geht die Gleichung (35) in eine Identität in r über, da
die Ableitungen von x, y mit denen von u, v ja gerade durch die Transformationsgleichungen (33), (34) usw. verbunden sind. Differentiiert') man die so entstandene Gleichung nach T, so erhält man
( ', aV o/ a,
~_ __' _ a Z, ~ 8 U z(45)
= -- -+ V ' + x, +y" -, — + * *..
= x ay ' a x' a 'y
Diese Gleichung stellt zunächst wieder nur eine Identität in X dar, wobei
*x', y';..., u', v';... Ableitungen nach r bedeuten. Da jedoch die bei dem Prozeß verwandten Funktionen x (), y (r) ganz willkürlich ) waren, so schließt man,
*daß die Gleichung (45) auch gültig bleibt, wenn man unter x, y; x', y; x, y...
einerseits und u, v; u', v' u", v"... andererseits schließlich wieder beliebige durch
die Transformationsgleichungen (24), (33), (34) usw. verbundene Variable versteht. Durch den angegebenen Differentiationsprozeß /wird also aus der absoluten
Invariante q eine neue absolute Invariante.abgeleitet.
Wenn die in (35) für x, y eingesetzten Funktionen außer von X auch noch
von einer zweiten Variabeln s abhängen, so geht die Gleichung (35) in eine
Identität in r und s über, die man daher auch nach s differentiieren darf. Indem wir die Differentiation nach E durch das Symbol.c andeuten, erhalten wir so:
a, a - a, a v
_ _ Gut + Öv + - -, öuJe + a- r- 2v + *. *
________a,,PF~ c~,, o(46)
G_ SC + a *^+ X * + ~ y +* *
CX... ax. a
1) Dabei ist zu beachten, daß x, y, x', y' auch in der in 0 enthaltenen
Funktion.:F und deren partiellen Ableitungen vorkommen.
2) Natürlich abgesehen von Bedingungen der Stetigkeit und Differentiierbarkeit, die wir bei dem lediglich formalen Charakter der gegenwärtigen Untersuchung nicht explizite angeben.