Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 45. Transformation des Integrals J durch eine Punkttransformation. 347, dx i dy d\ d J dx dy
dF d r') \d r) Z, - - d d r
dx dy\ /dr\-F -^ / dx dy\
dz'' z) j (j dr ' dv)'
und nach einer einfachen Rechnung, dx dy d2x d2y \ ( dx dy (x d y\
TF(xy, d —, i == T x y2 -
d "y t- dr '2 df'2 - xy, d(r d' d2' d2)- d'
Für den Fall der geodätischen Linien ist die Invariante S iit
der geodätischen Kriimmung identisch, wie aus den Gleichungen (39)
und (95) des fünften Kapitels ersichtlich ist.
Neben den Variabeln x',y'; x"y";...kann man auch, ähnlich wie
in der gewöhnlichen Invariantentheorie der Formen, eine zweite Reihe,kogredienter Variabeln" x, y;... resp. ü, v... einführen, die sich mittels
der Formeln.- X,, + XV, = Y.t + Y (41),usw. transformieren, was zu einer entsprechenden Erweiterung der
Gruppe und des Invariantenbegriffes führt.
Die einfachste derartige Invariante ist die ~identische Invariante":
x'y - y'X für welche
t'V - v ' = 1)-~(x'y - y x). (42)
Hierauf beruht die Invarianz der Jacobi'schen Bedingung.1) Ist
nämlich (t, a),, a)
die Extremalenschar durch den Punkt P1 der Extremalen (0, und
identifiziert man die Größen x', y' mit (p. t, dagegen x y' mit (pr, 4,t
was gestattet ist, da die hierdurch einander gleichgesetzten Größen
sich in derselben Weise transformieren, so geht x' - y's in die
Funktionaldeterminante A(t, ) über, woraus nach (42) und nach
~ 29, b) folgt, daß zwei konjugierte Punkte des ursprünglichen Problems durch die Transformation (24) in zwei konjugierte Punkte des
neuen Problems transformiert werden.
Eine andere Invariante dieser Art ist die Größe
x ',(X, x', x, y) + 'Fy,(x, y, x', y').
Denn aus (38) und (41) folgt, daß
uG",(uv,u',v') + v G,(uv,, ',v') =FxF,(x,y,x',y') + yFy,(x,y,x',y'). (43)
Dies zeigt, daß, wenn eine Kurve t eine zweite Kurve ( im Punkt
') Nach UNDERHILL, 1oc. cit.