Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

346 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
Ferner ist F1 eine Invariante vom Index 2,
G, = D2F. (37)
Denn durch Differentiation der Identität (29) nach u' und v' folgt
GT = FX,X + Fy, Y~ G, = - X, + F, LY, (38)
wobei die Argumente von i,Fy, dieselben sind wie in (29). Aus
(38) erhält man durch nochmalige Differentiation nach u'
Gt,' = F Z, XI + 2FI,XZ Yr, + Fy YS2
= Fi (Xy' - Yx')2 =- v22F1 = v' 2 G1.
Ebenso verifiziert1) man leicht, daß die linke Seite der Euler'schen
Differentialgleichung eine Invariante vom Index 1 ist:
T< = G G + Ga (u v" -v u")
= D[Fy - Fyx, + I (x'y" - y'x")] DT. (39)
Hieraus folgt, daß das Bild einer Extremalen des ursprünglichen
Problems wieder eine Extremale für das neue Problem ist, während
die Gleichung (37) die Invarianz der Legendre'schen Bedingung ausdrückt, Resultate, wie sie aus der Äquivalenz der beiden Probleme
a priori zu erwarten sind.
Aus (37) und (39) folgt, daß der Quotient
TF
1
eine absolute Invariante ist. Dazu bemerken wir noch folgendes:
Denken wir uns diesen Quotienten für irgend eine Kurve (E mit dem
Parameter r berechnet und wenden dann eine Parametertransformation 2)
= X(t), z'X (f) > o
an, so folgt aus den Homogeneitätseigenschaften von F, daß der obige
Quotient bei dieser Operation nicht invariant bleibt, daß aber der
Quotient T
— z1 = (40)
F, a 72 -nicht nur bei jeder Punkttransformation (26), sondern auch bei gleichzeitiger Ausführung einer beliebigen Parametertransformation invariümt
bleibt3), da nach ~ 25 Gleichung (9) und (13)
1) Vgl. auch unten ~ 45, c). 2) Vgl. ~ 25, a).
8) Siehe die auf p. 226, Fußnote 1) zitierte Dissertation von UNDURHILL, die
inzwischen in den Transactions of the American Mathematical Society,
Bd. IX (i908) p. 316 publiziert worden ist, und LANDSBERG, Mathematische
Annalen, Bd. LXV (1908) p. 329, der die Größe S die extremale Krimmwng
der betrachteten Kurve im Punkt x, y nennt.