Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 45. Transformation des Integrals J durch eine Punkttransformation. 343
Um dies zu zeigen, integriert man die Gleichung (20) zunächst von
r' bis r" - e und geht dann zur Grenze L e + 0 über.l)
~ 45. Transformation des Integrals J durch eine
Punkttransformation.
Indem wir uns jetzt der Verallgemeinerung der in ~ 4:3,a) angeführten Resultate über die Einführung geodätischer Parallelkoordinaten zuwenden, betrachten wir zunächst im allgemeinen die Frage
der Einführung von krummlinigen Koordinaten in das Integral J, oder,
was damit gleichbedeutend ist, die Wirkung einer Punkttransformation
auf das Integral J.
a) Allgemeine Vorbemerkungen:
Wir führen an Stelle der bisher gebrauchten rechtwinkligen Koordinaten x, y irgendein System krummliniger Koordinaten ein:
= U(x,y), = y(x,y). (24)
Dabei mögen die Funktionen U(x,y), V(x,y) von der Klasse C" sein
in einem Bereich o der x, y-Ebene, der in dem in ~ 25, b) eingeführten
Bereich 3t enthalten ist; überdies soll in Qo die Funktionaldeterminante
der beiden Funktionen von Null verschieden sein:
_ )+ 0_ iln d (25)
(x,y)
Die Transformation (24) läßt sich auch als ~Punkttransformation 2)
auffassen, indem man die neuen Variabeln u, v ihrerseits als rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in einer u,v-Ebene deutet. Dabei
bezeichnen wir das Bild des Bereiches So in der u, v-Ebene mit Sl
und setzen des weiteren voraus, daß die durch die Transformation (24)
definierte Beziehung zwischen ef und 2l ein-eindeutig sein soll. Aus
den Sätzen über implizite Funktionen folgt dann, daß die alsdann für
den Bereich 2L eindeutig definierten inversen Funktionen
= X(u, v), y = Yr(, v) (26)
ebenfalls von der Klasse C" sind, und daß ihre Funktionaldeterminante
D in 2L ebenfalls von Null verschieden ist:
________ ()((v7)
D -(X, ) + 0 in 2[. (27)
1) Die beiden in diesem Paragraphen bewiesenen Sätze lassen sich in etwas
anderer Fassung auch mittels der Sätze von ~ 37 über das Extremalenintegral
beweisen, was auf eine Verallgemeinerung der von DARBOUX, loc. cit., für den
Fall der geodätischen Linien benutzten Methode hinausläuft.
2) Vgl. über Punkttransformationen z. B. LIE-SCHEFFERS, Berührungstransformationen, Kap. 1.