Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

342 Siebentes Kapitel. Die Kneser'sche Theorie.
Integrieren wir diese Gleichung nach r von r' bis r" (r' < r"), so
erhalten wir
u(tr), a(")) - (rtr'), aQr)) - jF~(, y,2^, $) dt. (21)
'rd
Erinnern wir uns jetzt der Bedeutung der Funktion u(t, a), so erhalten
wir, da die Ungleichung (17) erfüllt ist, den verallgemeinerten Enveloppensatz 1):
Es sei Ro eine Transversale der Extremalenschar (4) und ~ die
Enveloppe der Schar. Ferner seien Q', -~ zwei Extremaleien der Schar,
welche von den Punkten P' P, P" von ausgehen und in den Punkten
Q', Q" beriihren, alsdann ist
J J(Q") =J P'Q) + -J(Q'Q") (22)
Dabei ist vorausgesetzt, daß der
positive Sinn auf; in der oben
angegebenen Weise festgelegt
worden ist, und daß der Punkt Q'
\1 v' auf g dem Punkt Q" vorangeht.
Der Satz bleibt richtig, wenn
die Kurve S" in einen Punkt
F — g. 60 degeneriert, in welchem Falle
wir den Zusatz erhalten:
Je" (P Q")(Ja(PQ),,__ \ 3- c7~~+ (Q `q", (23)
wo P ', PQ" zwei Extremalen
der Schar durch den Punkt P
sind und ~ die Enveloppe der
BP~~ &"^^~~ ~ Schar.?igm. p-,\61^. ^ Beide Sätze behalten ihre
Gültigkeit, wenn &Z und d- beide
für v = "r verschwinden, d. h. wenn die Enveloppe ~ in Q" eine Spitze
besitzt, wenn nur die Ungleichung (18) füir ' r < r" erfüllt bleibt.
~) Für den speziellen Fall, wo Io in einen Punkt degeneriert, gibt den Satz
schon ZERMELO in seiner Dissertation, p. 27, wo er denselben mittels des Weierstraß'schen Fundamentalsatzes herleitet. Der Satz in seiner allgemeinen Form
rührt von KNESER her, siehe Mathematische Annalen Bd. L (1898) p. 27. Der
einfachste Fall des Satzes ist der bekannte Satz über die Evolute einer ebenen Kurve.
Der Satz findet seine Ergänzung in den Entwicklungen des ~ 47, a), wo die
Existenz der Enveloppe nachgewiesen wird.