Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 48. Darboux's Methode für geodätische Linien. 335
oJ von P1 nach P2 gezogen werden können, die geodätische Linie eo
in der Tat die kirzeste ist.
Es mag auf den ersten Blick auffallend erscheinen, daß beim
Beweis von der Jacobi'schen Bedingung gar nicht die Rede war.
Dieselbe ist jedoch implizite in der über das Flächenstück W gemachten Annahme enthalten, daß jeder Punkt von oS die Größen u, v
eindeutig bestimmen soll. Das läuft darauf hinaus, daß die geodätischen
Linien der betrachteten Schar ein Feld um den Bogen (o bilden.
c) Der Enveloppensatz:
Die Notwendigkeit der Jacobi'schen Bedingung leitet DARBOUX')
ohne Benutzung der zweiten Variation aus einem bekannten Satz
über die Enveloppe einer Schar von
geodätischen Linien ab: Die Schar
von geodätischen Linien durch den
Punkt P1 möge eine Enveloppe 3 i.
besitzen, welche den Bogen @0 in 3
einem Punkt Pt berührt; und zwar
soll der positive Sinn auf g so ge- i/
wählt sein, daß in P[ die positiven \->-
Tangenten beider Kurven zusammen- Fig. 55.
fallen. Ist dann P1P3 eine zweite
geodätische Linie der Schar durch Pt, welche die Enveloppe ~ in
einem Punkt P, berührt, der auf g vor Pt liegt, alsdann besagt der
erwähnte Enveloppensatz, daß
arc, P1 P3 + arc P3 P1 =arc P1 Pt. (3)
'renn nun der Punkt PI zwischen P1 und P2 liegt, oder mit P2 zusammenfällt, so stellt die aus der geodätischen Linie P1P, dem Bogen
P3,P' der Enveloppe und dem Stück P1P2 von (o zusammengesetzte
Kurve eine zulässige Variation des Bogens eo dar, falls die geodätische
Linie P1P3 hinreichend nahe bei 0o gewählt ist. Für diese Variation
ist aber nach dem Enveloppensatz: AJ= 0.
Und da die Enveloppe selbst nie eine geodätische Linie ist2),
so kann man den Bogen P3P< von i durch einen kürzeren Bogen
ersetzen und somit AJ sogar negativ machen. Der Bogen (o liefert
also kein Minimum3) für das Integral J, womit die Notwendigkeit
der Jacobi'schen Bedingung bewiesen ist4).
1) Vgl. DARBOUX, Theorie des surfaces, Bd. II, Nr. 526 und Bd. III, Nr. 622.
") Siehe DARBOUX. loc. cit., Bd. III, p. 88.
3) Abgesehen von gewissen Ausnahmefällen, siehe unten ~ 47.
) Sogar noch etwas mehr, da auch P- = P2 im allgemeinen als unzulässig
nachgewiesen ist.
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