Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Siebentes Kapitel.
Die Kneser'sche Theorie.
~ 43. Darboux's Methode für die Behandlung des Problems der
kürzesten Linien auf einer gegebenen Fläche.')
Alle bisherigen Beweise für hinreichende Bedingungen waren auf
den Weierstraß'schen Fundamentalsatz über die Darstellung der
vollständigen Variation AJ durch die 8-Funktion gegründet.
Für den speziellen Fall der geodätischen Linien hat jedoch
DARBOUX2), ausgehend von bekannten GAuss'schen Sätzen über geodätische Parallelkoordinaten, eine wesentlich neue Methode für die
Aufstellung hinreichender Bedingungen entwickelt. Diese Methode
hat dann KNESER in seinem Lehrbuch systematisch auf das Problem,,das Integral
J- F- xy,x',y )dt
zu einem Minimum zu machen, ausgedehnt3) und so eine von der
Weierstraß'schen unabhängige Theorie geschaffen, die gleichzeitig
den Fall fester Endpunkte und denjenigen eines auf einer gegebenen
Kurve beweglichen Endpunktes umfaßt und überdies die ganze Untersuchung der zweiten Variation überflüssig macht.
Im gegenwärtigen Paragraphen wollen wir als Einleitung zunächst
die DARBOux'sche Methode kurz skizzieren.
1) Hierzu die Übungsaufgaben Nr. 14-19 am Ende von Kap. IX.
2) DARBOUX, Theorie des surfaces, Bd. II (1889), Nr. 514-526, Bd. III (1894),
Nr. 622-627.
3) Der fruchtbare Gedanke, Begriffsbildungen und Sätze aus der Theorie
der geodätischen Linien auf das genannte allgemeine Variationsproblem auszudehnen, ist neuerdings nach verschiedenen Richtungen hin weitergeführt worden;
vgl. BLISS, A generalization of the notion angle, T r an s acti o n s of the American
Mathematical Society, Bd. VII (1906), p. 184 und LANDSBERG, Über die Totalkrümmung, Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
Bd. XVI (1907) p. 36 und Über die Krümmung in der Variationsrechnung, MIathematische Annalen, Bd. LXV (1908), p. 313.