Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

330 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
den Punkt P2 eine eindeutig definierte Transversale Z der Extremalenschar (69) konstruieren. Zugleich ist dann die Extremalenschar (69)
im Sinne von ~ 40 die einzige Extremalenschar, welche im Punkte P,
von der Kurve Z transversal geschnitten wird. Aus der geometrischen
Bedeutung des Brennpunktes folgt daher, daß der Brennpunkt der
Kurve i auf der Extremalen &( mit dem Punkte P' identisch ist.
Wendet man jetzt auf die beiden Kurven % und ~g2 die Resultate von ~ 39, b) an, nachdem man vorher den positiven Sinn auf
beiden Kurven so gewählt hat, daß die positive Tangente an (o im
Punkte P, links von der (gemeinsamen) positiven Tangente an i und
ü2 liegt, so erkennt man, daß die Ungleichung (68) mit der folgenden
Bedingung äquivalent ist:
Wenn F(x2,y2,x2, y) > 0(< 0), so muß im Punkte Ps die
Krümmung von Ü2 nicht kleiner (größer) als diejenige von sein:
2 1
r (t) ('70)
Dies läßt sich auch so aussprechen:1)
TWenn F(x2,y2,x,yx ) > 0 (< O0), so muß die Kurve Z in der
Nähe des Punktes P# ganz auf derselben (entegeengesetzten) Seite der
Kurve 9s liegen wie der Extremalenbogen 0o.
In dieser zweiten Form bleibt der Satz auch dann noch richtig,
wenn die Brennpunkte P' und Po' gar nicht existieren, in welchem
Falle (68) illusorisch wird.
c) Hinreichende Bedingungen:
Wir fügen jetzt den unter a) aufgezählten Voraussetzungen über
den Extremalenbogen (o noch die weitere hinzu, daß die Bedingung
(68), resp. (70) in der stärkeren Form
t' < t', (68 a)
resp. 1 1
> (<) (7a)
erfüllt ist. r t
Alsdann liefert der Bogen @o in der Tat einen kleineren Wert für das
Integral J als jede andere gewöhnliche Kurve, welche in einer gewissen Umgebung von eo von der Kurve 1 nach der Kurve R2 gezogen werden kann.
Man kann dies nach ZERMELO und HAHN2) folgendermaßen beweisen: Man nehme zwischen P' und Pj' einen Punkt Po an; da
t0 < t', so liefert nach ~ 41 der Bogen P PO der Extremalen (io einen
kleineren Wert für das Integral J als jede andere gewöhnliche Kurve,
1) Vgl. BLISS, loc. cit., p. 80. In dieser Form läßt sich der Satz übrigens
auch direkt mit Hilfe des Kneser'schen Transversalensatzes beweisen.
2) Encyclopädie, II A, p. 631.