Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 42. Der Fall zweier variabler Endpunkte. 329
Der rechtsseitige Brennpunkt P`' von ~l darf nicht zwischen dem
Endpunkt P2 und dem rechtsseitigen Brennpunkt PJ' von ü liegen, es
muß also sein. t. (68)
Angenommen es wäre
t < t!';
so wähle man zwischen P' und P' einen Punkt Po auf eo und betrachte zunächst die Aufgabe, das Integral J zu einem Minimum zu
machen, wenn der erste
Endpunkt auf 1 beweglich
ist, während der zweite fest
ist und mit Po zusammen- ~
fällt. Für diese Aufgabe 6 -T
liefert nach ~ 39, a) der
Bogen P1P, der Extre- 2
malen *o kein Minimum, da l 2
t' < to..J0 PFig. 52.
Wir können also in jeder
Umgebung des Bogens P, Po eine Vergleichskurve P3 Po finden, für welche
J3o < J0
Die Kurve P3Po schneide e in einem Punkte P4.
Jetzt betrachte man andererseits das Problem, das Integral J zu
einemr Minimum zu machen, wenn der erste Endpunkt auf R2 beweglich
ist, während der zweite fest ist und mit Po zusammenfällt. Da
to < t2',
so sind für dieses Problem nach ~ 41 die hinreichenden Bedingungen
erfüllt, vorausgesetzt, daß die Bedingungen (II') und (IV') auch noch
über P, hinaus bis zum Punkte P, gelten. Daraus folgt, daß
J40 > J20o
falls die Kurve P4Po in hinreichender Nähe von eo gewählt worden ist.
Durch Subtraktion der beiden Ungleichungen folgt aber
J34 < J12,
womit die Notwendigkeit der Bedingung (68) bewiesen ist.
Die Bedingung (68) läßt sich noch in eine andere Form bringen.
Dazu konstruieren wir nach ~ 40 diejenige Extremalenschar
X = =c(t,a), y = '(t, a), (69)
welche von der Kurve S, transversal geschnitten wird. Alsdann
können wir nach ~ 31, c) auf Grund der Voraussetzung (672) durch