Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

326 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.,der Weierstraß/'sche Fundanmentalsatz
AJ- = 8(x,y;'p,q; p, q)ds, (59)
*55
wobei die Argumente der 8-Funktion dieselbe Bedeutung haben, wie
in ~ 32, a).
Dies läßt sich auf Grund der Resultate von ~ 31, c) mittels einer
von KNESER1) herrührenden Modifikation der Weierstraß'schen Konstruktion beweisen.
Sei in der Tat P3(s =-s) irgend ein Punkt der Kurve (, so
schneidet die durch P3 gehende Extremale des Feldes, (g(a = -a3), die
Transversale 9o in dem auf So dem Wert a = a3 entsprechenden
Punkt P4. Dann bilden wir das Integral J, genommen von P4 entlang der Extremalen ( bis P3 und von P3 entlang der Kurve ( bis
P2, und bezeichnen dessen Wert mit S(s3), sodaß
S(s) = J43 + J32.
Läßt man den Punkt P3 mit P5 zusammenfallen, wobei P4 nach P6
rücken möge, so kommt
S(s5) = J65 + J52
Läßt man dagegen P3 mit P2 zusammenfallen, so kommt
S(s) = J~ = J01 + J2
Nun ist aber
j65 = W(5, y5), J01 = WT(x, yt)
und
WV(x, y)-= W(x1, y), (60)
da nach ~ 31, c) W(x,y) auf der Transversalen ' konstant ist. Es
folgt also
AJ= J2 - = - [S(s2) - S(s)].
Die Berechnung der Ableitung S'(s,) und damit der Beweis von (59)
gestaltet sich nunmehr genau wie in ~ 32, a).
Statt der Weierstraß'schen Konstruktion kann man auch hier
wieder das lIilbert'sche invariante Integral Jet benutzen. Nach
Gleichung (151) von ~ 31 ist nämlich einerseits
J-* = T(x2, y2) - W(X5, y),
andererseits, da 0o eine Extremale des Feldes ist,
J0 = W(x2, y) - W(x, y1);
1) Vgl. KNESER, Lehrbuch, ~ 20.