Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

320 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
c) Beispiel I bei variablem Anfangspunkt:')
Hier ist
F-y I x'+y'.
Die Extremalen sind Kettenlinien mit der x-Achse als Direktrix. Wir schreiben
insbesondere die Extremale eo in der Form
e: ~x=- o 3- o +ot, y== oCht.
Die Transversalitätsbedingung lautet:
y(x x' + " y')=-0.
Die Kettenlinie eo muß also im Punkt P, zu der gegebenen Kurve R orthogonal sein.
Ferner ergibt eine einfache Rechnung
L== —Tht, -M C NT =Tht,
Cht' -
und daraus, wenn wir die positive Richtung der Kurve a so wählen, daß
01-0-1 =+ —
Cl -- o Chtl, D == - Thtl, E= - =1.
Endlich findet man
@(t, t)) =- o { ShtSht, (t - t) + ShtCht, - Sht, Cht.
Hieraus ergibt sich zur Bestimmung des Brennpunktes die Gleichung2)
a(Cht -tSht) + bSht= 0, worin
a 1 - -- Ch2tl S ht,
U Ch2t1
b ShtCht, + t - (Cht, - t Sh t).
Die Diskussion dieser Gleichung ergibt das folgende Resultats):
Liegt der Punkt P1 auf dem absteigenden Ast der Kettenlinie (in welchem
Fall ein zu P1 konjugierter Punkt Pj existiert4), so existiert stets ein Brennpunkt, und zwar in Übereinstimmung mit der allgemeinen Theorie zwischen P,
und P.
Liegt der Punkt P1 auf dem aufsteigenden Ast (in welchem Fall kein zu
P, konjugierter Punkt existiert), so existiert ebenfalls ein Brennpunkt, außer
wenn r zwischen 0 und - a Ch2t1 Shti liegt; liegt dagegen r in dem angegebenen
Intervall, so existiert kein Brennpunkt.
1) Siehe pp. 1, 33, 79.
2) Zuerst gegeben von KNESER, Lehrbuch S. 85.
s) Nach MARY E. SINCLAIR, Annals of Mathematics (2), Bd. VIII (1907),
p. 177, wo für den Fall — = o auch die experimentelle Bestimmung des Brennpunktes mittels des Plateau'schen Versuches gegeben wird.
4) Vgl. p. 80.