Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

318 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Somit können wir den Satz aussprechen:
Für ein Minimum des Integrals J unter den angegebenen Endp)unktsbedingungen ist weiterhin nötig, daß der Brennpunkt P'[ der
Kurve 9 auf der Extremalen eo nicht zwischen den beiden Punkten
P, und P1 liegt.
Die Gleichung J"(ao) = 0, welcher der Wert t' genügt, können
wir nach (27) und (28) auch schreiben1)
HI(t, t,) - A, (t, t) + B,,- = 0, (43)
und zwar ist t' definiert als die zunächst auf t1 folgende Wurzel
dieser Gleichung.
Mit Hilfe der Gleichungen (21), (22), (27) und (28) verifiziert
man leicht, daß
A, H(t, t) B, H(t1, t) - 0. (44)
Die Funktion H(t, t,) kann daher, abgesehen von einem konstanten
Faktor, auch als dasjenige Integral der Jacobi'schen Differentialgleichung definiert werden, welches der Anfangsbedingung (44) genügt.2) Denn ist u(t) ein zweites Integral der Jacobi'schen Differentialgleichung, welches derselben Anfangsbedingung genügt,
Au(t,) + B,u'(t1) == 0,
so folgt, da B, = 0,
H1u' - uH' = 0,
und dies ist nach ~ 11, b) Zusatz I, nur möglich, wenn u = konst. H1
b) Abhängigkeit des Brennpunktes von der Kriimmung der
Kurve A im Punkt P,:
In den Ausdruck für die Funktion H(t, t,) kann man statt der beiden
Ableitungen x', y' die Krümmmung der Kurve R im Punkt P, einführen, also
die Größe
1 Xy" — y'X"!1
wenn man - unter Festhaltung der Voraussetzung (38) - aus den beiden Gleichungen
X'.+ yF1 --- O, x",+y'F, -'F (45)
die Größen Fx, 1und Fy, 1 berechnet und in A, einsetzt.
1) In dieser Form zuerst von BLIss gegeben (Transactions of the
American Mathematical Society, Bd. III (1902), p. 136) und aus der zweiten
Variation abgeleitet. Unsere Bezeichnung weicht von der Bliss'schen um einen
unwesentlichen konstanten Faktor ab. Die entsprechende Gleichung für das,
x-Problem findet man bei BOLZA, Lectures, ~ 23, e).
2) Vgl. BLISs, lo. eit.