Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 4. Verschwinden der ersten Variation. 19
uns auf den Fall des Minimums beschränken, da jede Kurve, welche
ein Minimum für das Integral J liefert, zugleich ein Maximum für
das Integral- J liefert, und vice versa.
~ 4. Verschwinden der ersten Variation.
Wir setzen jetzt voraus, wir hätten eine Kurve
i:. y- y(x), x < x < x2,
gefunden, welche das Integral
J==jf(x, y, ')dx
in dem im vorigen Paragraphen erklärten Sinn zu einem Minimum
macht. Wir nehmen überdies an, daß die Kurve 0 ganz im Innern1)
des Bereiches 3R liegt.
Aus der letzten Annahme folgt2), daß wir Q so klein nehmen
können, daß die Nachbarschaft (Q) von ( ebenfalls ganz im Innern
von 3- liegt.
Wir "variieren' nun die Kurve (, [d. h. wir ersetzen sie durch
eine andere zulässige Kurve
t(E: y y (x), - x - x2,
welche ganz in der Nachbarschaft (p) liegt. Eine solche Kurve pflegt
man eine der Kurve ( ~benachbarte Kurve" zu nennen.
Das Inkrement
A y - y(x) - (x),
welches wir mit o (oder wenn nötig co (x)) bezeichnen3), wird die
"vollständige Variation von y" genannt. Da die Kurve S in der Nachbarschaft (Q) liegt, so ist
1 Ga(x) <Q in [xx2]; (16)
überdies ist im Fall fester Endpunkte
co(1)= O, o(X2)= O, (17)
da
(x,) = y(x1) = yi; )(x2) =y(x2)= -Y2
1) Der Fall, wo die Kurve Punkte mit der Begrenzung von g gemein hat,
wird in Kap. VIII behandelt werden.
2) Vgl. ~ 21, a); die Kurve (; ist eine begrenzte, abgeschlossene Menge,
nach A VII 1.
S) Bezeichnung nach LAGRANGE, (Euvres, Bd. IX, p. 296.
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