Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

316 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Ebenso leicht läßt sich die Differentiationsmethode auf das allgemeinere Probleml) anwenden:
Das Integral J J7F(yx'y') dt
zu einem Minimum zu machen, während zwischen den Koordinaten
der Endpunkte eine Anzahl von Relationen gegeben ist
ZX (Xl, y, X, y2) = O.
Die Anzahl der voneinander unabhängigen Relationen kann nicht
größer als vier sein. Ist sie genau gleich vier, so haben wir den
Fall fester Endpunkte.
Sind beide Endpunkte vollständig frei beweglich, so erhält man
die vier Bedingungen
Fx, l = O, Fl = 0, F 12= 0, F, = 0o
~ 39. Die Brennpunktsbedingung.
Wir feigen jetzt, den im Eingang von ~~ 36 und 38 über den
Extremalenbogen @o gemachten Annahmen die weitere Annahme hinzu,
daß im Punkt P1 die Transversalitätsbedingung (5) erfüllt ist, und
wenden uns nun, im weiteren Verfolg der Differentiationsmethode, zur
Diskussion der Bedingung
J"(a) f 0. (332)
a) Berechnang2) von J"(ao); Einführung des Brennpunktes:
Aus der Definition (32) der Funktion J(a) folgt unmittelbar
J (Po) = a " x +.y + a x2 + + y 2 1
Trägt man hierin die Werte für die Ableitungen von S aus (18)
und (24) ein und setzt
A=, Fx,+ F+Lx'+ 2Myx + Ny'2 1 (36)
Bi = (x'U- y' x ')2F 1 t
wobei die Argumente von Fx, Fy,, F., L, I1, N sich auf die Extremale (o und den Punkt P] beziehen, so erhält man
J" (a0) = - 1 + B, (t2), (37)
wobei die Funktion z1 (t) durch (23) definiert ist und t statt s geschrieben ist, da der Parameter auf der Extremalen eo beliebig ist.3)
1) Vgl. KNESER, Lelihrbtuch, ~ 10. 2) Nach DRESDEN, loc. cit. p. 474.
~) Vgl. die Bemerkung am Ende von ~ 37, c).