Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 38. Die Differentiationsmethode. 315
AÄ, A2, resp. P1, P, bezeichneten Punkte die Punkte P1, P, resp.
P3, Ps treten.
Wird daher der Punkt P3 hinreichend nahe bei P1 angenommen,
so geht von P3 nach P2 eine eindeutig definierte Extremale (, dargestellt durch die Gleichungen (13a), wenn man darin x1, y1 durch
x3, y3 ersetzt. Der Wert des Integrals J, genommen von P3 entlang
( nach P2, ist dann gegeben durch das Extremalenintegral
5 (x3, y )3, x,2 n 8)
Da der Punkt P3 auf der gegebenen Kurve Ü liegt, so ist hierin
x.= (a), y3 =(a) (31)
zu setzen, wenn a der Parameter von Jl auf der Kurve St ist, (so
daß also in der Bezeichnung von ~ 36, a) a = (t + ). Durch Einsetzen dieser Werte geht das Extremalenintegral in eine Funktion
der einzigen Variabeln a über, die wir mit J(a) bezeichnen, so daß
J(a) = S (c(a), y (a), x2, Y). (32)
Die Funktion J(a) muß nun nach dem im Eingang dieses Abschnitts Gesagten für a -= a ein Minimum besitzen, es muß also sein:
J'(ao) =, J (') > 0. (33)
Nun ist aber nach (32)
J'(a) = + 7
setzt man hierin für die Ableitungen von S ihre Werte aus (18) ein
und beachtet die Homogeneität von Fi,, F, so erhält man:
J'(a) -{ F,(x, y, x', y') + '_F(x, ', y, x', y')}3. (34)
Für a = aO ergibt sich hieraus unmittelbar die Transversalitälsbedingung
in derselben Form (5) wie in ~ 36, a).
Ist die Kurve Ü nicht in Parameterdarstellung, sondern durch
eine Gleichung x(x,y) 0 gegeben, so hat man die Funktion
S (X1 2 i2 x22)
der beiden Variabeln x y,l mit der Nebenbedingung
Z(x1,y)= 0
zu einem Minimum zu machen, was nach den bekannten Regeln für,bedingte Minima auf die Transversalitätsbedingung in der Form
F,1(x 1,yx', y;')Z (,y) - F,(x1,,y xl,yl)X. (x y,) = 0 (35)
führt, in Übereinstimmung mit (5).