Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 37. Das Extremalenintegral. 31
Nunmehr erhält man durch Differentiation der Gleichungen (18) Ausdrücke für die zweiten Ableitungen der Funktion S. Dieselben lassen
sich jedoch wesentlich vereinfachen. Zunächst drücke man die dabei
auftretenden zweiten Ableitungen von F nach Gleichung (12a) und
(85) des fünften Kapitels durch die Weierstraß'schen Größen ~F,
L, 1/, N aus. Sodann beachte man, daß die Funktionen ul, vl, w1;
%2 v2, w2 nach ~ 29, a) der zur Extremalen @ gehörigen Jacobi'schen
Differentialgleichung genügen, und zwar sind sie hierdurch zusammen
mit den folgenden Anfangsbedingungen, die sich aus den Eigenschaften
der Funktionen 3, e) ergeben, vollständig bestimmt:1)
u1 (S) == -y (s) ),I) = (1)- = (S)
w ) (sl)= 0, wt (si)= 1, (21)
U2(s2) = - y(S2), u2(s2) = - (S2),
2(s2) = x'(s2), v(s2) = ' (S),
wt2(S) = 0, w2(S2) 1.
Bezeichnen nun col, resp. c2 diejenigen Integrale der zur Extremalen ( gehörigen Jacobi'schen Differentialgleichung, welche durch
die Anfangsbedingungen
Ci(Si1)- 1, i(Si) =) (22)
resp. Cao(S2) =, 2(s2) = 0
definiert sind, so folgt
= - y"(S1) w1 - Yi's1) c31,
1 = 'X(S1) mw + X'(S1) cG1,
und ebenso
2 = - y" (S) ' 2 - y',(S) c,
v2 =- /'(S2) )2 + X,'S) c02.
Macht man hiervon Gebrauch und setzt schließlich noch
=-1 2.7 (23)
i61 w2
so erhält man das folgende von DRESDEN herrührende Resultat:
~) Vgl. ~ 27, Gleichungen (51a), (51b) und die aus (51a) durch Differentiation nach xo0 yo, 0 sich ergebenden Gleichungen.