Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

308 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Für (x1,, y, x2, y) = (a, b, a2, b2) reduziert sich derselbe auf den Extremalenbogen A1A2.
Ist der letztere nicht in der Normalform (9) gegeben, sondern
durch einen beliebigen Parameter t dargestellt:
x = x(t), y = y(t), t < t < t, (9a)
der mit dem Bogen s durch die Parametertransformation
s =g(t), t- h(s) (14)
verbunden sein möge, sodaß also: h(s1) = t, h(l + sl) = t, so wende
man auf die Gleichungen (13) die Paranietertransformation
t t1 + t - ' (7 (S)- t)
h(s2)- ti
an; dann erhält man den Extremalenbogen e dargestellt in der Form
': x =- (t; x1, y1, x2, y2), y = g (t; x 2, Yi, X2, y2), (13a)
welche, wie man leicht zeigt, die beiden folgenden Eigentümlichkeiten hat:
1. Die Endpunkte P1, P2 entsprechen den von, x, y1, x2, y, unabhängigen Werten t = tl, t = t.
2. Fir (x, y2, x2, Y2) = (a1, b, a2, b2) gehen die Gleichungen (13a)
in die gegebenen Gleichungen (10a) des Extremalenbogens AA2 über.
Überdies folgen aus den Identitäten
i = (ti; xi, Yi, 2 y2), yi = i (t1; xi, y, x2 2 y2),
x2 = (t2; Xi, Y 2, y 2 ), Y2 - = t (t2; Xi, Yx,, 2 ) (52)
durch Differentiation nach xk yk die Gleichungen
k ayk
a, = ~ i,=, 2, (16)
wobei dik =1 oder 0, je nachdem k = i oder k + i.
b) Die ersten partiellen Ableitungen des Extremalenintegrals:
Wir betrachten jetzt unter Festhaltung der Voraussetzung, daß
A2 nicht zu A1 konjugiert ist, unser Integral J, genommen entlang
der Extremalen von P1 nach P2:
tl
JLs,(P, 2) T (~ t)t dt