Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

18 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
für jede zulässige Kurve: y- y (x), fir welche
I y(x)- y(x) I < füir X x< 2. (15)
Diese Ungleichung bedeutet geometrisch, daß die Kurve ( (abgesehen von den Endpunkten) im Innern des Streifens liegt, welcher
durch die beiden Kurven
y = (x) +, y =y(x) -
einerseits und durch die beiden Geraden
x - -=, X -- 2
anderseits begrenzt wird. Diesen Streifen werden wir "die Nachbarschaftl) (9) der Kurve LG" nenen, wobei von der Begrenzung nur
die Punkte P, und P2 als mit zur Nachbarschaft (Q) gehörig betrachtet werden sollen.
Wir nennen dann wieder das relative Minimum (Maximum)
ein eigentliches, wenn Q so gewählt werden kann, daß in der
Ungleichung (14) das Zeichen > (<)
i Y ):+ für alle von ( verschiedenen zu_ _ —J i t f-Y:(2' lässigen Kurven gilt, welche in der
/E ^^ __ -y y(x) Nachbarschaft (9) liegen; dagegen
uneigentlich, wenn es, wie klein auch
9 gewählt sein mag, stets mindestens
|_i___ I, eine von ( verschiedene zulässige
'% a, Kurve e gibt, welche ganz in der
Fig. ' Nachbarschaft (Q) liegt und für
welche: J =- Ja.
Eine Kurve, welche ein absolutes Extremum liefert, liefert a fortiori auch ein relatives, und daher reduziert2) sich die ursprüngliche
Aufgabe darauf, alle Kurven zu finden, welche ein relatives Extremum
für das Integral J liefern, und in dieser Form werden wir die Aufgabe
in der Folge betrachten.
Wir werden dabei die Worte "Minimum, Maximum" stets im
Sinn von ~relatives Minimum, Maximum" gebrauchen und wir werden
1) Vgl. OSGOOD, loc. cit. p. 107. Die Nachbarschaft (Q) inklusive ihrer Begrenzung werden wir die geschlossene Nachbarschaft [e] von Q nennen.
2) Vgl. die entsprechenden Bemerkungen beim gewöhnlichen Extremum,
~ 2, c). Für eine direkte Behandlung des absoluten Extremums vergleiche man
HILBERT'S Existenzbeweis (Kap. IX), DARBOUX, Theorie des surfaces, Bd. III,
p. 89; und ZERMELO, Jahresbericht der Deutschen MathematikerVereinigung, Bd. XI (1902) p. 184.