Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

306 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Daher nimmt die Bedingung (7) die Form an
xi + y1 cotg - 0. (8)
Bezeichnet jetzt 02 den Tangentenwinkel der Zykloide im Punkt P2, 01 denjenigen
der Kurve t im Punkte P1, so folgt hieraus, da
tg 02 = cotg 2'
das Resultat ):
cos(02 - )= 0, dh.. 02 = 1-.
Die Tangente der Zykloide imi Punkte 12 muß also auf der Tangente an die
Kurve t im Punkte P1 senkrecht stehen.2)
~ 37. Das Extremalenintegral.
Ehe wir zur Darstellung der ~Differentiationsmethode" übergehen
können, müssen wir den wichtigen Begriff des Extremalenintegrals
einführen. Dazu haben wir ein an die Sätze von ~ 27 anknipfendes
Existenztheorem nötig.
a) Ein Existenztheorem über die Konstruktion einer Extremalen
durch zwei gegebene Punkte:
Es sei ein ganz im Innern des Bereiches 3{ gelegener Extremalenbogen AlA2 gegeben, dem entlang die Bedingung F, + 0 erfüllt ist.
p, Wir nehmen in der Nähe von At
einen Punkt P, in der Nähe von
A2 einen Punkt P, und stellen
uns die Aufgabe, von P1 nach P2
eine Extremale ~ zu ziehen.
Die Koordinaten der Punkte
Jl Fig. 47. A
Fig. ~47. A1, A2; Pr, P2 seien a, bt, a2, b2;
xi y1, x2, y2. Der Tangentenwinkel des gegebenen Bogens AÄA2 im
Punkte A] sei a, derjenige des gesuchten Bogens P P, im Punkte
P, sei 0,; die Länge des Bogens AA,2 sei 1. Dann können wir nach
~ 27, c) den gegebenen Extremalenbogen in der Normalform
x = (S - 1; a b a,), y= (s - sl; C6l, ),s sl+s1 (9)
1) LAGRANGE hatte in seiner ersten Behandlung der Brachistochrone mit
variablen Endpunkten (1760) die Abhängigkeit der Funktion F von y, übersehen,
und infolgedessen die gewöhnliche Transversalität (hier Orthogonalität) als Bedingung angegeben ((Euvres, Bd. I, p. 343). Das Versehen wurde dann von
BORDA (1767) bemerkt und das obige Resultat angegeben, das dann auch später
von LAGRANGE (1769) nach seiner Methode bewiesen wurde (QEuvres, Bd. II, p. 63).
2) Hierzu die Übungsaufgabe Nr. 4 am Ende von Kap. IX.