Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 36. Die Variationsmethode. 305
Unter Benutzung von (4) erhalten wir daher im gegenwärtigen
Falle statt der Transversalitätsbedingung (5) die folgende Bedingung:
t2
- (x'r:' + ~Fy,) 1 +J(Fx,. + F5Y4) dt = 0, (7)
tl
wobei die Argumente von Fz, Fy, sind: x1, y, x, y; x1 y1 x2, Y;
diejenigen von Fx, Fy1
-x(t, y(t), x(t), t'(t); x1 y1 x2 y,2
Diese Gleichung ist von wesentlich anderem Charakter als die
Transversalitätsbedingung (5), insofern ihre linke Seite nicht nur vom
Punkte P, sondern gleichzeitig vom Punkte P2 abhängt.
Beispiel XV. (Siehe p. 207).
Die Brachistochrone fir den Fall, daß der Ausgangsipunkt P1 auf einer gegebenen Kurve ü beweglich ist, während der Endpunkt P2 gegeben ist.
Dabei setzen wir voraus, daß die gegebene Anfangsgeschwindigkeit v1 (und
daher auch die Konstante k) von den Koordinaten x1, y1, x2, y unabhängig ist.
Die Funktion
F -x 2+y'2\
enthält hier in der |Tat die Ordinate y1 des Punktes P1. Im Punkte P1 muß
also nicht die Transversalitätsbedingung (5), sondern die Bedingung (7) erfüllt
sein. Im gegenwärtigen Falle ist
x y
F - Fy — _ — _ -,
' /x'2 + y'2y - y+k / '2 y +j2y - y-,+ +k\
F7 -0, Fy - V__+
FZal~,~/-:2 (/y y,- + Y \)
Diese Ausdrücke sind nun für die Extremale eo zu berechnen, d. h. für
die Zykloide:
x - x, 3- = a c(t- sin t),
y - y1 + = a(1 -cos t),
wobei wir nach einer schon früher gemachten Bemerkung ) voraussetzen, daß
0 < ti < t2 < 2 7t.
Man findet
cotg2 F1
F F
F --, F, —t, F --
F, =/2\ ' ~ 2} /2a sina 2
1) Vgl. p. 209 Fußnote 1). Die Einschränkung ist zur Zeichenbestimmung
der Quadratwurzeln erforderlich.