Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

304 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
Zur Bestimmung der Integrationskonstanten ea, p des allgemeinen
Integrals der Euler'schen Differentialgleichung, sowie der unbekannten
Größen t, t2, aO hat man fünf Gleichungen, nämlich
f(t2, ß, /) = x2 g(t2 a, ß) = 2 (y,
f(ti, a, ß) -= (ao), g(t~,, ) = y(ao)
und außerdem die Transversalitätsbedingung (5).
Beispiel XVI: Die Geodätischen Linien. (Siehe p. 209.)
Für die Transversalitätsbedingung findet man hier leicht die Gleichung
u'(Eu' + Fv') + '(Fu' + Gv') I1 =0,
welche ausdrückt, daß die geodätische Linie die auf der Fläche gegebene Kurve
orthogonal schneiden muß.1)
Die im Punkt x, y, zur Richtung x', yI transversale Richtung xl, yl, die
durch die Gleichung (5) definiert ist, läßt sich nach CARATHEODORY sehr einfach
mit Hilfe der Indikatrix (~ 30, c)) geometrisch konstruieren. Bezeichnen wir mit 0,
und 01 die Amplituden der beiden Richtungen, so folgt aus (5):
g F(xl, yl, cos 06, sin 0,)
$g O:1 ~,(x1, y1, cos 0 11 sin 01)
Durch Vergleichung mit Gleichung (128b) von ~ 30 ergibt sich daraus die Regel:
Um die zur Richtung 01 transversale Richtung 0, zu erhalten, konstruiere
man im Punkt Q1 (01) der Indikatrix die Tangente Q, T1 an die Indikatrix; die
Richtung derselben gibt dann die gesuchte transversale Richtung 0, (vgl. Fig. 35).
Übrigens ist mit 01 stets zugleich auch 01 + X7 transversal zu 01.2)
b) Der Fall, wo die Funktion ' die Koordinaten der Endpunkte
enthält:3)
Die Untersuchung gestaltet sich wesentlich anders, wenn die
Funktion F die Koordinaten der Endpunkte enthält. In diesem Fall
hat man nach p. 50 dem Ausdruck (3) für dJ noch das Zusatzglied
F,+(F8x F y, + FF x, + F F,) dt
tl
hinzuzufügen, wobei
6xi = x ti, dy = dy (=, 2).
da t1 und t2 von e unabhängig sind.
1) Vgl. z. B. BIANCHI-LUKAT, Differentialgeometrie, p. 65.
2) Hierzu die Ubungsaufgaben Nr. 1-3 am Ende von Kap. IX.
3) Zuerst behandelt von LAGRANGE (1769), vgl. (Euvres, Bd. II, pp. 47 und 59.
Vgl. auch KNESER, Lehrbuch, ~ 12.