Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

302 Sechstes Kapitel. Der Fall variabler Endpunkte.
wobei wir annehmen, daß a1 < a < a2. Wir schließen dann zunächst
ganz wie in ~ 7, a), daß die gesuchte Kurve @o in erster Linie alle
notwendigen Bedingungen für ein Minimum bei festen Endpunkten
erfüllen muß. Sie muß also eine Extremale sein und überdies müssen
die Bedingungen (II), (III), (IV) erfüllt sein. Wir nehmen für die
weitere Diskussion an, daß alle diese Bedingungen erfüllt sind.
Für die weitere Behandlung der Aufgabe sind drei wesentlich
verschiedene Methoden entwickelt worden, die wir als Variationsmethode, Differentiationsmethode1) und Knes er'sche Methode2) unterscheiden wollen. Im gegenwärtigen Paragraphen soll die erste derselben, soweit sie sich auf die erste Variation bezieht, besprochen werden.
a) Die Transversalitätsbedingung:
Die Variationsmethode besteht darin, daß man für das vorliegende
Problem "Normal-Variationen",3) von hinreichender Allgemeinheit herstellt, für dieselben 6J und 8 2J berechnet, und dann die Bedingungen
6J== 0, 2JTO 0 diskutiert. Diese Methode, die bis auf LAGRANGE4)
zurückgeht (1760), führt am einfachsten zu der aus dem Verschwinden
der ersten Variation folgenden Trans-./~~~~/ ~versalitätsbedingung, steht jedoch für
die weitere Behandlung des Pro3 >, _ blems hinter der Differentiationsmethode an Einfachheit und Tragweite zurück.
Wir setzen zunächst voraus, daß
(wo E^ ^die Funktion F von den Koordinaten
\ der Endpunkte nicht abhängt.
F Fig. 46. Es sei P3 derjenige Punkt von A,
welcher dem Parameter a == a + ~
entspricht, wobei E eine unendlich kleine Größe bedeutet. Dann ziehen
wir eine den Bedingungen einer Normalvariation genügende Kurve: x (t = + g(t, ) y = (t) + (t, t t <t,
vom Punkte P, nach dem Punkt P2. Die Funktionen ((t, ),, (te)
müssen also so gewählt werden, daß für jedes e:
t(t, 8) (= x(ao + 8) - X(a0), (t2, ) = 0,
____ (t1, ) =,(ao + ) -- Y(a0), (t2, 8) = 0,
1) Vgl. ~~ 38-40.
2) Dieselbe setzt erst nach Ableitung der Transversalitätsbedingung ein.
Vgl. ~ 41 und Kap. VII.
3) Vgl. ~ 8, a).
4) Vgl. LAGRANGE, (Euvres, Bd. I, pp. 338, 345.