Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Sechstes Kapitel.
Der Fall variabler Endpunkte.
~ 36. Die Variationsmethode.
Wir wenden uns jetzt zu einer eingehendenl) Diskussion des
Problems, das Integral
J=f F(x, y, x';,y')dt
zu einem Minimum zu machen in dem Fall, wo die Endpunkte der
zulässigen Kurven nicht beide vorgegeben sind. Wir betrachten zunächst den Fall, wo der erste der beiden Endpunkte auf einer gegebenen
Kurve f beweglich ist, während der zweite, P2, fest und gegeben ist.
Die Kurve k denken wir uns durch einen Parameter a dargestellt:. x (a), y = D(a), < a < a2.
Wir setzen voraus, daß sie von der Klasse C" ist und ganz im
Bereich e 2) liegt.
Unsere zulässigen Kurven sind also die Gesamtheit RT( aller "gewöhnlichen"3) Kurven, welche von der Kurve A nach dem Punkt P2
gezogen werden können, und welche überdies ganz im Bereich 3t
liegen.
Wir nehmen an, wir hätten eine Kurve
(0': x =x(t), y =- (t), tl < t < tz (1)
gefunden, welche unser Integral J in bezug auf diese Gesamtheit f11
zu einem (relativen) Minimum macht. Dieselbe möge von der Klasse
C' sein und ganz im Innern des Bereiches R9 liegen. Der Punkt der
Kurve R, von dem sie ausgeht, sei P1 und möge dem Wert a = a
entsprechen, so daß also
(t____ = (ao), (t,) = y(a) (2)
1) Vorübergehend gestreift haben wir das Problem bereits in ~ 7, beim
x - Problem.
2) Vgl. ~ 25, b); die Annahmen über die Funktion F sind dieselben wie dort.
3) Vgl. ~ 25, a).
Bo z a, Variationsrechnung. 20