Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

298 Übungsaufgaben zum fünften Kapitel.
Aus den Brennpunktseigenschaften der Ellipse folgen nunmehr folgende
Sätze: Der zweite Brennpunkt F liegt auf dem Kreis mit dem Radius!PoAi = 2 - r0 um den Punkt Po; der Vektor PoF bildet mit der Achse
den Winkel 2 a. Verlängert man die Gerade PoF bis zu ihrem zweiten Schnittpunkt mit der Ellipse, so ist dieser der zu P0 konjugierte Punkt Po'. Die Enveloppe
der Extremalenschar durch den Punkt P0 ist eine Ellipse ~, welche die Punkte 0
und Po zu Brennpunkten hat und durch den Punkt A geht. Bei der Ableitung
dieser Resultate gehe man von der Aufgabe aus, bei gegebenem v0 diejenige
Extremale zu bestimmen, welche durch den Punkt Po und durch einen zweiten
gegebenen Punkt P1 hindurchgeht: Durch jeden Punkt P1 im Innern der
Ellipse ~ gehen zwei Extremalen von P, aus; man verlängere die Gerade OP,
bis zu ihrem Schnittpunkt S mit dem Kreis um 0 mit dem Radius 1 OA == 2 a,
beschreibe sodann um P1 einen Kreis mit dein Radius 1 P1 S j; derselbe schneidet
den Kreis mit dem Radius Po A um P, in zwei Punkten F, F', welche die
zweiten Brennpunkte der beiden gesuchten Ellipsen sind. Durch jeden Punkt
von ~ geht eine Extremale von P, aus. Liegt Pt außerhalb ~, so geht keine
Extremale von Po nach P,. (JAcoBI, TAIT and STEEL)
13. Für die vorangehende Aufgabe die Hamilton'sche partielle Differentialgleichung aufzustellen und ein vollständiges Integral derselben nach der Methode
von ~ 20, c) aus dem ersten Integral: F,-= B der E u 1 e r'schen Differentialgleichung
abzuleiten.
Lösung:
( r) + 2 ( ) 2 + h)
W== (0 + 1/Ia {u + e sinu - 2 1 e2 arctg (1t+-tg 2 + y,
wobei
P2 - ta e2), r a ( - e cos u).
Für welche Extremalenschar ist die Schar: W = konst. die Transversalenschar?
(JACOBI)
14. Das Prinzip der kleinsten Aktion auf die Beewegung eines Punktes auf
einer beliebigen Fläche auszudehnen. Hieraus den Satz abzuleiten, daß der Punkt
eine geodätische Linie beschreibt, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. (APPELL)
15. Das allgemeine Problem der Brachistochrone auf einer Fläche: Auf einen
materiellen Punkt, welcher gezwungen ist, sich auf einer gegebenen Fläche zu
bewegen, wirke eine Kraft, welche eine von der Zeit unabhängige Kräftefunktion U(x, y, z) besitzt. Unter allen Kurven, welche auf der Fläche zwischen
zwei gegebenen Punkten P" und P1 gezogen werden können, diejenige zu bestimmen, entlang welcher der materielle Punkt in der kürzesten Zeit von Po
nach P, gelangt, wenn ihm im Punkt P0 eine gegebene Anfangsgeschwindigkeit
erteilt wird. (APPELL)