Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

Übungsaufgaben zum fünften Kapitel. 297
zweiten Mal im Punkt Po'. Die Tangenten an die Parabel in Po und P,'
schneiden sich in einem Punkt T der Geraden: y == k (Lindelöf's Konstruktion, verallgemeinert, vgl. ~ 13, c)), und zwar unter einem rechten Winkel. Die
Enveloppe der Extremalenschar durch den Punkt Po zu bestimmen; welche Bedeutung hat dieselbe für die Aufgabe: bei gegebenem vo den Winkel a so zu
bestimmen, daß die Bahn durch einen gegebenen zweiten Punkt P1 hindurchgeht?
(TAIT and STEEL, APPELL)
11. Für das vorangehende Beispiel und für die Extremalenschar durch den
Punkt Po das Feldintegral TW(x, y), gerechnet vom Punkt Po, zu berechnen,
a) mittels der Hamilton'schen Formeln (148), b) nach der Methode von ~ 20.
Lösung:
JW(x, y) = 1/2 ((2ky - y) -,
wo
1/2 Jk - y - 4 k (kc -y) - x
Dies läßt sich auch in die Form bringen:
WV (x, y)= V {(k - y) +- /x- -y [(2k - y) -] x}*.
Für den Wert der Aktion vom Punkt
Po bis zum konjugierten Punkt Po'
ergibt sich hieraus der Wert s
1 v 3
--- --- i (DARBOUX) P,
3 g sin3 ac
12. Das Prinzip der kleinsten \ \
Aktion auf die Planetenbewvegung anzuwenden.
Die Sonne befinde sich im Pol 0 o - -,eines Systems von Polarkoordinateun
r, 0; die Anfangslage Po sei gegeben
durch r == ro, 0 == 0, die Anfangs-:geschwindigkeit sei v, die Anfangsrichtung bilde mit der Achse den
Winkel cc; die Anziehungskraft sei Fig. 45.
Kt/r2. Die Bahn ist eine Ellipse:
Parabel oder Hyperbel, jenachdem'
~O2 <?/, _= 1( oder> _ Diese Bedingung ist von a unabhängig. Für den
o0 o
Fall der Ellipse ist die große Halbachse a gegeben durch
1. 2 v02
a 0r o
also ebenfalls von a unabhängig.