Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

294 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie
und daher, wenn wir zur Grenze übergehen,
J, Je, > E n
womit unsere Behauptung bewiesen ist.
Auch der Satz über die Existenz eines Mlinimnums im Kleinen läßt sich auf
Vergleichtskurven der Klasse K ausdehnen:
Es sei Rlo ein Bereich, für welchen die Voraussetzungen von ~ 33, b) erfüllt sind, und es sei ro für den Bereich Ro definiert wie in ~ 34, b). Sind
dann P1 und P. irgend zwei Punkte von Vo, deren Entfernung kleiner ist als ro,
und ziehen wir von P1 nach P, einerseits die kürzeste Extremale ~1., andererseits eine beliebige Kurve 2 der Klasse Ki, welche ganz im Innern des Kreises
(P1, ro) liegt und mindestens einen Punkt enthält, welcher nicht auf dem
Extremalenbogen l2 liegt, so ist: J > Je.
Der Beweis ist ganz analog wie oben mittels des Osgood'schen Satzes,
diesmal in der Form von ~ 34, b), zu führen; an Stelle des Feldes Wd", tritt
jetzt die Kreisfläche (P1, r,).