Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 35. Verallgemeinerung der Bedeutung des Kurvenintegrals. 289
Da die Kurve 2 ganz im Innern des Bereiches 3 liegen sollte,
so wird das geradlinige Polygon $ mit den Ecken Pt, Q, Q2..., Q9,
P2 ebenfalls ganz im Innern von 3 liegen, vorausgesetzt, daß die
sämtlichen Differenzen r,o+ - r, hinreichend klein gewählt worden
sind. Unter dieser Voraussetzung bezeichne VH das Integral J, genommen entlang dem Polygon 3/7 von P1 bis P2.
WVenn alsdann die Kurve 2 rektifizierbar ist, und wenn eine der
Summen TWn und VH füir L A = 0 gegen eine bestimmte, endliche
Grenze konvergiert, so konvergiert die andere Summe gegen denselben
Grenzwert, so daß man auch definieren kann
J,(P, P2)=L V,. (205)
Denn bezeichnen wir wieder mit r, und co, die Länge, bzw. die
Amplitude des Vektors Q,,Q+- und setzen
v. = -v + S COs,O ", - + s sin c1,
so können wir unter Benutzung der Homogeneität der Funktion F
die Differenz Vl - Wn, schreiben:
n r7v
V o - w, =~ZSj'F(, i,, cos coa, sin aO,) - F(,, r, cos o,,, sin o,)] ds.
v=O 0
Hieraus folgt dann die Behauptung, wenn man den Satz iber die
gleichmäßige Stetigkeit auf die Funktion
(x, y, cos y, sin y)
anwendet.
Indem wir uns in der Folge auf rektifizierbare Kurven beschränken, werden wir die Gesamtheit aller rektifizierbaren Kurven,
für welche die Summe WrV gegen einen bestimmten endlichen Grenzwert konvergiert, "die Klasse IK nennen.
c) Zweite Definition des verallgemeinerten Kurvenintegrals:
Für spätere Anwendungen erwähnen wir hier noch eine zweite Definition
des verallgemeinerten Kurvenintegrals, welche als naturgemäße Verallgemeinerung
der Peano'schen Definition') der Länge einer Kurve erscheint. PEANo definiert
nämlich als Länge der Kurve ~ die obere Grenze der Werte der durch die
Gleichung (203) definierten Summe WT, für alle möglichen Teilungen 11 des
1) Vgl. PEANO, Applicazioni geometriche del Calcolo infinitesimale, (Turin
(1887), p. 161.
B o l z a, Variationsrechnung. 19