Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

288 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Aus der in der Definition einer Kurve der Klasse C' enthaltenen Annahme:
t25(t) +~ 2(t)> 0 in [t t,], folgt dann nach ~ 21, b), daß man eine abgeschlossene Umgebung 3 der Menge
ti Zt' zt2, Z<r"<, t' = t"
im Gebiet der Variabeln t', t" angeben kann, derart daß
P (t') + ip t2(t")>0 i> n 91.
Die Funktion F(cp(t), ip(t), cp'(t'), p'(t")) der Variabeln, t', t ist dann gleichmäßig stetig in dem Bereich
t1 < t ~ t2, (t', t") in.
Hieraus und aus der gleichmäßigen Stetigkeit der Funktionen q (t), ip(t) folgt
dann, daß man zu jeder positiven Größe s eine zweite positive Größe dl bestimmen kann, derart daß
I ~(9P( ), p(r), '( ), 4'(,) - F(cp (-r ( ), q 'r,"), P( "')) | ~
für jede Teilung 11, deren sämtliche Intervalle kleiner als 6" sind. Es ist
dann also. |T^-Jßi, < 8(t2 - ti),
womit die Behauptung bewiesen ist.
Dasselbe Resultat gilt auch noch für gewöhnliche Kurven mit
einer endlichen Anzahl von Ecken, wie man sich durch Betrachtung
solcher spezieller Teilungen überzeugt, welche die Ecken als Teilungspunkte enthalten.
Wir kommen nunmehr nach WEIERSTRASS überein, allgemein
für irgend welche stetige Kurve 2 das Integral
t2
J((PP,) fF(x,,, y')dt
durch den Grenzwert der Summe WTU zu definieren, in allen Fällen,
in welchen W11 bei dem angegebenen Grenzübergang gegen eine
bestimmte, endliche Grenze konvergiert. Dies ist eine naturgemäße
Verallgemeinerung der Definition des Kurvenintegrals, da sie, wie wir
eben gezeigt haben, für gewöhnliche Kurven mit der gewöhnlichen
Definition übereinstimmt.
Die folgende Modifikation1) der Weierstraß'schen Definition
des verallgemeinerten Kurvenintegrals wird sich später als nützlich
erweisen:
1) Vgl. OSGOOD, Transactions of the American Mathematical
Society, Bd. 11 (1901), p. 293.