Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

16 Erstes Kapitel. Die erste Variation bei der einfachsten Klasse von Aufgaben.
Für jede andere zulässige Kurve S hat man dann
J> J ( J (14)
und diese Ungleichung kann ebenfalls zur Definition des absoluten
Minimums (Maximums) benutzt werden.
Die Aufgabe der Variationsrechnung in ihrer einfachsten
Form besteht nun darin, diejenige oder diejenigen zulässigen Kurven
zu bestimmen, welche in diesem Sinn ein absolutes Minimum oder
Maximum für das Integral J liefern.l)
Die so formulierte Aufgabe läßt sich auf die mannigfachste Weise modifizieren, indem man den zulässigen Kurven andere Bedingungen auferlegt. Wir
erwähnen die wichtigsten dieser Modifikationen:
1. Statt die Endpunkte vorzuschreiben, kann man auch nur verlangen, daß
sie auf gegebenen Kurven liegen sollen, oder sonst in vorgeschriebener Weise
veränderlich sein sollen (vgl. ~ 7 und Kap. VI).
2. Man kann die Bedingung fallen lassen, daß y sich als eindeutige Funktion
von x darstellen lassen soll, indem man die Kurven in Parameterdarstellung annimmt (vgl. Kap. V).
3. Endlich kann man auch die "Klasse" der zulässigen Kurven modifizieren,
indem man z. B. Kurven mit "Ecken" zuläßt (Kap. VIII), oder bloß die Existenz
der rechtsseitigen Tangente verlangt (vgl. KNESER, Lehrbuch, ~ 17); ja man
kann die Aufgabe sogar so erweitern, daß nicht einmal die Existenz einer einseitigen Tangente vorausgesetzt wird (vgl. Kap. IX). Anderseits kann man auch
dem Gefälle gewisse Beschränkungen auferlegen, z. B. beständig positiv zu sein
(vgl. Kap. VIII), oder dem absoluten Wert nach eine vorgegebene Grenze nicht
zu überschreiten (vgl. ~ 19, c).
Wie man die zulässigen Kurven am besten zu definieren hat, das hängt in
jedem einzelnen Fall von der speziellen Natur des vorgelegten Problems ab.
Aber wie man auch die Aufgabe formulieren mag, sie muß stets den beiden
folgenden Forderungen genügen, wenn sie überhaupt einen bestimmten Sinn
haben soll: 1. Die Gesamtheit der als zulässig betrachteten Kurven mu/3 genau
definiert werden; 2. fiir jede zulässige Kurve muß das Integral J, eventuell nach
geeigneter Erweiterung seiner Definition, einen bestimmten endlichen Wert haben.
Was den Bereich t betrifft, so ist derselbe fir jede einzelne Aufgabe besonders festzulegen; er kann offen oder geschlossen, endlich oder unendlich sein,
er kann auch die ganze x, y-Ebene umfassen.
1) HILBERT hat in seinen Vorlesungen (1904/1905) ein allgemeines Problem
des Maximums und Minimums formuliert, welches sowohl die Aufgaben der
Variationsrechnung, als die der Theorie der gewöhnlichen Maxima und Minima
umfaßt: Gegeben ist eine unendliche Menge irgend welcher mathematischer Objekte a, b,... (Zahlen, Punkte, Kurven, Flächen usw.), und jedem Individuum
dieser Menge ist eine reelle Zahl Ja, Jb... zugeordnet. Es soll dasjenige Individuum der fMenge bestimmt werden, welchem die größte oder kleinste Zahl zugeordnet ist.