Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

280 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Ist endlich do das stets positive Minimum der Funktion r[c, a; xa, y] im
Bereich (182), so liegt der Kreis (P1, do) ganz in dem von der Kurve k begrenzten Bereich, und die Ungleichung (194) gilt daher a fortiori, wenn der
Punkt P2 im Innern des Kreises (IP, do) liegt, womit der Satz bewiesen ist.
~ 34. Der Osgood'sche Satz.
Wenn eine Funktion f(x) an der Stelle x = a ein eigentliches,
relatives Minimum besitzt, so kann man eine positive Größe k angeben, so daß
f(x) -f(a) > für 0 < l x-a.
Dies gilt, gleichgültig ob die Funktion f(x) stetig oder unstetig ist.
Wenn aber f(x) im Intervall [a - k, a + k] stetig ist, so besitzt sie
überdies noch folgende Eigenschaft: Zu jeder positiven Größe 1, die
kleiner ist als k, gehört eine positive Größe e, derart daß
f(x) - f(a) f> E für l < l -a |i k. (195)
Denn alsdann erreicht f(x) für das Intervall [a - k, a - 1] ein absolutes Minimum in einem Punkt x, des Intervalls; ebenso für [a + l,
a + k] in x2, und es ist dann f(x) > f(a), f(x2) > f(a). Bezeichnet
daher E, die kleinere der beiden positiven Differenzen f(x1) f(a),
f(x2) - f(a), so gilt in der Tat die Ungleichung (195).
Daß unstetige Funktionen diese Eigenschaft im allgemeinen nicht
besitzen, zeigt OSGOOD durch das Beispiel:
1, wenn x irrational;
/q, wenn x = + p/q, wo p, q zwei positive ganze Zahlen
f(x) - ohne gemeinsamen Teiler sind;
0, wenn x= 0.
Diese Funktion hat für x 0 ein eigentliches Minimum, ohne die
oben angegebene Eigenschaft zu besitzen.
Wie OSGooD 1) gefunden hat, gilt nun ein ganz analoger Satz
für das eigentliche, starke Extremum eines bestimmten Integrals.
a) Der Fall eines Extremums "im Großen":
Die Analogie ist am vollständigsten bei der folgenden von HAHN2)
herrührenden Fassung des Satzes:
1) Transactions of the American Mathematical Society, Bd. II
(1901), p. 273.
2) Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd. XVII (1906), p. 63;
auch der im Text gegebene Beweis rührt von Hahn her. In der genannten
Arbeit verallgemeinert Hahn den Satz auch auf isoperimetrische Probleine und
auf das Lagrange'sche Problem.