Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 33. Existenz eines Minimums ~im Kleinen". 279
Aus (178) und (192) leitet man dann das weitere Resultat ab, daß es eine von
t, a, x1, y1, unabhängige Größe K0 gibt, derart daß in demn Bereich (189),'[u, a] < K,.. (193)
Nach diesen Vorbereitungen wählen wir eine positive Größe c kleiner als
Qe/Ko und gleichzeitig kleiner als das stets positive Minimum der Funktion
u(1l, a; x, y1) im Bereich (182) und betrachten die Kurve1):
g= p[c], 121 y == tp [c, al,
Dieselbe ist eine stetige, geschlossene 3
Kurve ohne mehrfache Punkte (eine /
Jordan'sche Kurve), da sie wegen
(193) ganz im Innern des Kreises //
(P1, 0o) liegt. Das Innere2) der Kurve 1
ü ist das eineindeutige Abbild des \
Bereiches
___ ^ \ -- - /
O<z <c, 0O<a<27. /
mittels der Transformation (188).,
Ist daher P, ein von P, verschiedener Punkt im Innern der Kurve
S und ~L2 die kürzeste Extremale von Fig. 43.
P, nach P2, so ist der Wert J,h des Integrals J entlang el kleiner als c. Ziehen wir jetzt irgend eine andere gewöhnliche 3)
Kurve ( von P1 nach P", welche ganz im Bereich go liegt, so ist der Wert JI"
des Integrals J, genommen entlang (, größer als Jh.
Wenn die Kurve b5 ganz in dem von der Kurve S begrenzten Bereich verläuft, so liegt sie a fortiori im Innern des Kreises (P1, Qe) und die Behauptung
folgt nach b). Es ist also nur nötig, den Fall zu betrachten, wo die Kurve C
aus dem von der Kurve t begrenzten Bereich heraustritt. Sei P3 der Punkt,
wo die Kurve U zum ersten Mal4) die Kurve S schneidet; ziehe die kürzeste
Extremale ls von P1 nach P2. Dann ist nach b)
J3 > J13 = c > J1
Also ist a fortiori
J~> J, (194
da wegen der Voraussetzung (187): Jl2 >.
1) Die Kurve ist nach ~ 44, b) eine Transversale der Extremalenschar durch
den Punkt Pl.
") Vgl. A VI 2.
3) Der folgende Schluß bleibt auch noch bestehen, wenn die Kurve 1 von
der Klasse K ist, vgl. ~ 35, d).
4) Vgl. JORDAN, Cours d'Analyse, Nr. 103.