Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 3. Definition des Maximums und Minimums eines bestimmten Integrals. 15
nach den Sätzen über zusammengesetzte Funktionen (A IV 9) eine
im Intervall [x, x2] stetige Funktion von x, und daher hat das Integral
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J- =ff(x, x y'(x))dx (12)
Xl
einen bestimmten endlichen Wert. Wir nennen dieses Integral das
Integral der Funktion f(x, y, y') genommen entlang der Kurve ( und
bezeichnen dasselbe mit
J= f x, y, y')dx
oder kürzer mit Ja.
Es seien jetzt im Bereich c& zwei Punkte P, (x, y,) und P, (x2, Y)
gegeben, wobei wir stets x, < x2 voraussetzen; wir betrachten die
Gesamtheit R aller Kurven, welche folgende Bedingungen erfüllen:
1. Sie gehen durch die beiden gegebenen Punkte P, und P,.
2. Sie sind in der Form
y = y(x), x x x2
darstellbar, wo y(x) eine eindeutige Funktion von x bedeutet, d. h. geometrisch, jede Kurve wird von jeder Geraden parallel der y-Achse:
x = c in einem und nur einem Punkt geschnitten, wenn i < c < x2.
3. Sie sind von der Klasse C', d. h. geometrisch, sie sind stetig
und besitzen in jedem Punkt eine Tangente, deren Gefälle') sich stetig
ändert, und die nie mit der y-Achse parallel ist.
4. Sie liegen ganz im Bereich 9l. Wir nennen diese Kurven die
"zulässigen Kurven" oder auch die,Vergleichskurven".
Jede zulässige Kurve ( liefert einen bestimmten endlichen Wert
Jfü für das Integral J. Die Menge dieser Integralwerte { J r besitzt
eine untere Grenze K und eine obere Grenze G (endlich oder unendlich). Wenn alsdann die untere (obere) Grenze endlich ist und wirklich erreicht wird, d. h. wenn es eine zulässige Kurve ( gibt, für
welche
J- =K, (J- G), (13)
so sagen wir, die Kurve ( liefert ein absolutes Minimum (Maximum)
fiür das Integral J in bezug auf die Menge Sm.
1) Unter Gefälle (slope) einer Geraden verstehen wir die trigonometrische
Tangente des Winkels, welchen die Gerade mit der positiven x-Achse bildet.