Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 33. Existenz eines Minimums ~im Kleinen". 275
r(t, a) = -V/(p -x)2 + ( ) -),
dagegen co(t, a) ebenso wie früher, so ist
r (t, a) =- [P,1 2s, Co (t, a) -am P, P3 + n:.
Indem man dann die früheren Schlüsse für das Intervall: - h < t < 0 wiederholt,
erhält man den
Zu satz: Unter denselben Voraussetzungen wie im Satz I lassen
sich zwei Größen 1' und R' angeben, derart daß von jedem von Pr
verschiedenen Punkt P2 im aInern des Kreises (P, R') eine und nur
eine Extremale <t@ nach P1 gezogen werden kann, deren Länge kleiner
als 1' ist.
Die Extremale 21 wird im allgemeinen von -12 verschieden sein,
vgl. ~ 25, b).
b) Abhängigkeit der Größen 1 und R von der Lage des Punktes P1:
Die Größen 1 und R hängen natürlich von der Lage des Punktes
Pa ab. Hieriber gilt der folgende Satz:
Satz III: Ist S0, ein ganz im Innern des Bereiches J9 gelegener,
beschränkter, abgeschlossener Bereich, und ist das vorgelegte Variationsproblem regulär') in 9o0, so gelten die vorangehendenz Resultate gleichmäßig in bezug auf den Bereich ko, d. h. es lassen sich zwei von
xl, y, unabhängige positive Größen lo und Q9 bestimmen, derart daß
irgend zwei Punkte P" P2 von (o, deren Entfernung kleiner ist als., durch eine und nur eine Extremale ~(t verbunden werden können,
deren Länge kleiner ist als lo, und diese Extremale -2l liefert für
das Integral J einen kleineren Wert, als jede andere gewöhnliche2)
Kurve, welche im Innern des Kreises (P", 9o) von P, nach P, gezogen werden kann.
Um dies zu zeigen, hat man in dem vorangehenden Beweis die Funktionen
(q, tP; r, Wo; rt, V als Funktionen nicht nur von t, a sondern auch von x1, y1 zu
betrachten und sich dabei der Eigenschaften der Funktionen X, ) zu erinnern.
Es folgt dann zunächst nach ~ 23, a) Zusatz, angewandt auf die Menge
t==O, (x1,y1) in o0, 0a< a 2r,
daß sich eine positive, von aC, xl, y unabhängige Größe ho angeben läßt, der~) D. h. es ist
F (x, y, cos y, sin y) + 0
für jeden Punkt (x, y) von to und für jedes y, vgl. ~ 27, a).
2) Wegen der Ausdehnung des Satzes auf Kurven der Klasse K siehe
~ 35, d), Ende.
18*