Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 33. Existenz eines Minimums "im Kleinen". 271
x = (t; x, y, a)= cp(t, a)
(168)
y - (t; 'x, Y1, a) _ p (, a) '
wobei t wieder die Bogenlänge, gemessen vom Punkt P1 an, bedeutet, so daß also
cpt + -=t2 1. (169)
Nach ~ 23, a) Zusatz1) läßt sich dann eine positive, von a unabhängige
Größe h angeben, derart daß das Reguläritätsintervall der Extremalen Ha
mindestens das Intervall I t < h umfaßt, und aus den Eigenschaften der Funktionen2) 3, ) folgt zugleich, daß die Funktionen
9, 9P (Pttt; I, pt, ~tt
im Bereich
0 < Itj'h, 0<aL<2r (170)
von der Klasse C' sind, und daß sie den Anfangsbedingungen
qp(0, a)= x, ip(0, a)= (171)
at (0, a) cos a, Ä(t 0, a) sin a
genügen, aus denen durch Differentiation nach a folgt:
(Pa(O, a) )-, (o0, a) --, (2
(pta(O,a)= ---sina, ta(O, a)-cosa.J
Endlich sind die Funktionen qp, i in Beziehung auf die Variable a periodisch
mit der Periode 2,r.
Es handelt sich um die Auflösung o
der Gleichungen (168) nach t und a. Statt
die Aufgabe direkt in Angriff zu nehmen,
wobei sich wegen des Verschwindens der
Funktionaldeterminante A (t, a) für t -- 0
Schwierigkeiten ergeben, führen wir an
Stelle der rechtwinkligen Koordinaten x, y / o
Polarkoordinaten r, co ein mit dem Pol P,
und der positiven x-Richtung als Achse. 1-
Alsdann ist bei geeigneter Normierung 3) des Fig. 41.
Winkels co
1) Die dort mit 6, bezeichnete Punktmenge ist hier die durch die Bedingungen
t=0, x=x, x= y==?, 0<0 <2x
charakterisierte Menge im Raum der Variabeln t, x, y, 0. Dieselbe liegt nach
den gemachten Voraussetzungen im Innern des Stetigkeitsbereiches der Differentialgleichungen (43), vgl. ~ 27, a).
2) Vgl. ~ 27, b).
3) Die hier gewählte Darstellung (1732) für den Winkel co, die man leicht
durch Differentiation nach t verifiziert, hat im Gegensatz zu den Darstellungen
durch inverse trigonometrische Funktionen denVorteil, eindeutig und stetig zu sein.