Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

270 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Der Vorteil der Bliss'schen Formeln besteht darin, daß in ihnen nur
Größen vorkommen, welche bei einer Parametertransformation invariant bleiben.
Auch ist die Funktion %2 einfacher als die Weierstraß'sche Funktion F2.
~ 33. Existenz eines Minimums ~im Kleinen".
Sind zwei Punkte P1 P2 gegeben, so ist es im allgemeinen nicht
möglich, a priori zu entscheiden, ob dieselben durch eine Extremale
verbunden werden können; es bedarf dazu in jedem einzelnen Fall
einer besonderen Untersuchung. Wenn jedoch die beiden Punkte
hinreichend nahe beieinander liegen, so kann man sie unter
gewissen Voraussetzungen über die Funktion F stets durch eine Extremale verbinden, und zwar eine solche, welche tatsächlich ein Extremum für das Integral J liefert.
Dieser Satz1), der nicht nur an sich, sondern auch wegen seiner
zahlreichen Anwendungen von Wichtigkeit ist, soll den Gegenstand
des gegenwärtigen Paragraphen bilden.
a) Konstruktion eines Feldes um einen Punkt:
Wir beweisen zunächst den folgenden
Satz I: Es sei P] (x, y1) ein Punkt im Innern des Bereiches 9^,
fürt welchen die Bedingung
Fi (xi, y, cos y, sin y) + 0 (167)
fiür jedes y erfüllt ist. Alsdann lassen sich zwei positive Größen l und
R angeben, derart daß sich vom Punkt P1 nach jedem von Pt verschiedenen Punkt P2 im Innern des Kreises mit dem Radius R um
den Punkt P1 eine und nur eine Extremale2) ziehen läßt, deren Länge
kleiner als 1 ist.
Dieselbe besitzt keine Doppelpunkte und ist ganz in dem Kreis mit
dem Radius IPP21 um den Punkt P1 enthalten.
Beweis: Aus den gemachten Annahmen folgt zunächst nach ~ 27, a), daß
vom Punkt P1 nach jeder Richtung eine und nur eine Extremale gezogen werden
kann. Die Extremale ea, deren positive Tangente im Punkt P1 mit der positiven x-Achse den Winkel a bildet, schreiben wir in der Normalform (73)
von ~ 27:
1) Der Satz rührt von WEIERSTRASS her, der jedoch nur einige Andeutungen
eines Beweises gegeben hat. Einen detaillierten Beweis hat zuerst BLIss gegeben, Transactions of the American Mathematical Society, Bd. V
(1904), p. 113. CARATHEODORY hat kürzlich den Satz auf gebrochene Extremalen
ausgedehnt, indem er die Voraussetzung (167) durch eine schwächere Voraussetzung ersetzt, vgl. Mathematische Annalen, Bd. LXII (1906), p. 481.
2) Es ist hier ausschließlich von Extremalen der Klasse C' die Rede.