Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 32. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 267
Die Gleichungen (161) lassen sich also schreiben:
dt \. datds + -ds 0
( dt da
f t - -m) +9 -d -d^ ds ^ds
Nun gehören aber nach (135) die Argumente t(x, ), a (, y)
von (Pt, (aP Q, 4,' dem Rechteck L,k an (vgl. ~ 31, a)), also ist nach
(133) die Determinante dieses linearen Systems von Null verschieden,
also:
dt da
ds ds
Aus der zweiten Gleichung folgt, daß die Funktion a(x, y) entlang der Kurve; konstant ist, und da im Punkt P,: a(xl, yL) =ao,
so ist a(xJ, y) = ao entlang U. Dagegen sagt die erste Gleichung
aus, daß die Funktion t(xi, y) gleichzeitig mit s wächst. Daraus folgt
aber nach (160), daß die Kurve; mit (o identisch1) sein müßte, da
ihre Gleichungen aus denen von ~( durch eine zulässige Parametertransformation hervorgehen.
Somit ist AJ> 0, und wir haben das folgende zuerst von
WEIERSTRASS (1879) bewiesene Endresultat gewonnen:
Wenn der Extremalenbogen ~o die Bedignggen (I'), (II'), (III'),
(IV') erfiillt, so liefert er stets ein starkes eigentliches Minimum fiir
das lntegral
J==JF(x,yx' y')dt
Zusatz I: Die Bedingung (III') kann auch hier durch die Bedingung ersetzt werden, daß sich der Bogen eo mit einem Feld umgeben läßt.
Zusatz II: Wenn die Bedingung
F, (x, y, cos r, sin y) >0 (I'a)
in jedem Punkt (x, y) von 9o und für jeden Wert von. y erfüllt ist,
so sind (II') und (IV') a fortiori erfüllt, letztere wegen (125).
1) Wir haben stillschweigend vorausgesetzt, daß die Kurve ( keine Ecken
besitzt; andernfalls hat man in den Ecken die Differentialquotienten durch die
vorderen (resp. hinteren) Derivierten zu ersetzen. Das Resultat bleibt aber dasselbe; denn auch dann hat die Funktion a(x,y) entlang der ganzen Kurve d;
denselben konstanten Wert, da sie stetig ist.