Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

264 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
Von dem Bogen,: =- x= (t), y = ~y(t), t~< t < t2,
wird vorausgesetzt:
1. Der Bogen eo ist ein Extremalenbogen der Klasse') C', ohne
mehrfache Punkte, welcher vom Punkt P1 nach dem Punkt P2 geht
und ganz im Innern des Bereiches St liegt. (I')
2. Es ist
Fr (x(), (x), t)lt), y't)) > O (in'
für: < t < t.
3. Der Bogen eo enthält den zu Pr konjugierten Punkt P,' nicht:
t2 < tl. (II)
4. Es ist
8 ((t), y(t); x~(t), y,t); cos 0, sin 0) > 0 (IV')
für: t- t < t2 und für jede Richtung 0, welche von der Richtung
der positiven Tangente an eo im Punkt t verschieden ist.
Es soll gezeigt werden, daß unter diesen Voraussetzungen der
Bogen (o wirklich ein starkes Minimum für das Integral
J =fF(x, y, x', y') dt
in dem in ~ 25, d) definierten Sinn liefert.
Aus den Voraussetzungen (I'), (II'), (III') folgt zunächst, daß der
Bogen eo mit einem Feld,k umgeben werden kann. Denn wählt
man einen Punkt Po(to) auf der Fortsetzung von (o über den Punkt Pr
hinaus hinreichend nahe bei P1, so besitzt die Extremalenschar durch
den Punkt Po:
x= ((tO, a), y = (t, a)
die in ~ 27, d) angegebenen Eigenschaften, die zugehörige Funktionaldeterminante A(t, ao) == c(t, to) genügt nach ~ 29, b) der Jacobischen Differentialgleichung (102) und verschwindet für t= to. Aus
der Bedingung (III') folgt dann mittels des Sturm'schen Satzes
genau wie in ~ 12, a), daß
A(t, ao)+0 für < t t t
falls der Punkt P0 hinreichend nahe bei P, angenommen wird. Hieraus folgt aber nach ~ 31, a), daß die Extremalenschar durch den
Punkt Po in der Tat ein Feld h, k um den Bogen eo liefert.
1) Hieraus zusammen mit (II') folgt, daß eo allemal von der Klasse C"' ist,
vgl. ~ 27, a).