Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

262 Fünftes Kapitel. Die Weierstraß'sche Theorie.
o(x1, y1) == =(a(x, yl)), (X2, 12) = (a(x2, Y2))
und da die beiden Punkte P1 und P2 auf derselben Extremalen (a == a)
des Feldes liegen, so ist
a(xl, i1) = ao a (x2, y2)-= -
Somit gilt die Gleichung (156) auch, wenn go keine Transversale ist.
Dasselbe Resultat bleibt auch noch bestehen, wenn die Kurve (
eine endliche Anzahl von "Ecken" besitzt, also nach unserer Terminologie 1) irgend eine ~gewöhnliche Kurve" ist. Denn zunächst folgt aus
den expliziten Ausdrücken2) für J43 und J2 nach A III 4 und A V 4,
daß die Funktion S(s) auch in diesem Fall im Intervall [ss2]1 stetig
ist. Ferner behält auch die Gleichung (155)- eventuell mit dem
Zusatzglied (157) - ihre Giltigkeit, wofern man auf beiden Seiten
die Differentialquotienten nach s, (zu denen auch p, q3 gehören), durch
die vorderen, resp. hinteren Derivierten ersetzt, da die bei der Ableitung von (155) benutzten Differentiationsregeln auch für rechtsseitige und linksseitige Differentiation gelten. Hieraus folgt nach
A V 4 durch Integration die Gleichung (156).
Wir haben somit den Weierstraß'schen Fundamentalsatz für
den Fall der Parameterdarstellung bewiesen:
Wenn der Extremalenbogen ~o sich mit einem Feld umgeben läßt,
so läßt sich für jede ganz im Feld gelegene, die beiden Punkte P1 und
P2 verbindende gewöhnliche Kurve ( die totale Variation
J = J- -J
durch die 8-Funktion ausdricken in der Form
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AJ- =8( Y;,; p, ) ds. (156)
Dabei ist (x, y) ein Punkt der Kurve (; p, q sind die Richtungskosinus
der positiven Tangente der Kurve ( im Punkt (x, y), und p, q sind
die Richtungskosinus der positiven Tangente der durch den Punkt (x, y)
gehenden Extremalen des Feldes im Punkt (x, y).
Noch einfacher gestaltet sich der Beweis des Weierstraß'schen
Satzes nach HILBERT mittels des invarianten Integrals (150). Denn
1) Vgl. ~ 25, a).
2) Wegen der Bedeutung des Integrals J3. entlang einer Kurve mit Ecken
vgl. p. 197, Fußnote 2).