Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 32. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 261
also nach (148), wenn wir der Einfachheit halber zunächst annehmen,
daß die Kurve So eine Transversalel) ist,
-d = F1 (x y3 2 p q3) p3 + Fy(x3' y3, p3, q)
indem wir zur Abkürzung
PS -= (X3, Y3) q3 = (X3, S3)
p= '(s), = Y (s)
schreiben.
Andererseits ist
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J,SF(j(s), y(s), X (s ), y(s))ds,
also
dJ2= — F(x3 Y3, p3, q3).
ds
Indem wir die beiden Resultate kombinieren, und uns der Definition
(120) der 8-Funktion erinnern, erhalten wir daher2)
ds - 8(3, y3; 3, q3; P3 q3), (155)
und somit nach (154a)
82
AJ== g8(X3, y P3, 3; P3, q3) ds. (156)
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Ist die Kurve o keine Transversale, so ist nach (148a) dem
obigen Ausdruck für dJ4/ds noch das Glied,_, _, _ d
- x z- y ds o(- (s), (s)) (157)
hinzuzufügen. Das Integral dieses Zusatzgliedes nach s zwischen den
Grenzen s! und s2, nämlich
(X1, yi)- o (2, Y2),
ist aber gleich Null. Denn nach der Definition der Funktion co(x, y) ist
1) Dabei soll stets der Fall mit inbegriffen sein, wo die Kurve üo in den
Punkt P, degeneriert.
2) WEIERSTRASS beweist dieses Resultat, indem er die Differenzenquotienten
(s - h) - S(s) berechnet und dann zur Grenze ibergeht; vgl. BOLZA, Lectures,
+ h
~ 20, b) und HANCOCK, Lectures, Art. 161.