Vorlesungen über Variationsrechnung, von Dr. Oskar Bolza. Umgearb. und stark verm. deutsche Ausgabe der "Lectures on the calculus of variations" desselben Verfassers. Mit 117 Figuren im Text.

~ 32. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz. 259
Unter derselben Voraussetzung erhält man die partielle Differentialgleichung1) für die Funktion W(x, y) durch Elimination von p, q
aus den beiden Gleichungen (148) und der Gleichung:
p2 + q2= 1.
~ 32. Der Weierstraß'sche Fundamentalsatz und die hinreichenden
Bedingungen.
Wir sind jetzt in der Lage, den Weierstraß'schen Fundamentalsatz2) über die Darstellung der totalen Variation AJ durch die
8-Funktion auch für den Fall der Parameterdarstellung zu beweisen
und daraus hinreichende Bedingungen für ein Extremum abzuleiten.
a) Die Weierstraß'sche Konstruktion:
Wir wollen uns hier zum Beweis des Weierstraß'schen Satzes
der sogenannten ~Weierstraß'schen Konstruktion" ) bedienen. Zu
diesem Zweck ziehen wir - unter Festhaltung der Voraussetzungen
und Bezeichnungen des vorigen _
Paragraphen - vom Punkt P1 inach dem Punkt P2 irgend eine
Kurve der Klasse C':
e: x= X(s), y Y(s), 4 g S -=
S, < S <S2
welche ganz im Feld QO gelegen t — 0
ist. Dabei nehmen wir der Ein- Fig. 40.
fachheit halber die Bogenlänge s,
gemessen von einem festen Punkt der Kurve Z als Parameter.
Durch einen beliebigen Punkt P3(x3, y3) von Z geht dann eine
und nur eine Extremale (3 des Feldes; dieselbe schneide die Kurve o
im Punkt P; (vgl. ~ 31, b)).
1) Vgl. ~ 20, b). 2) Vgl. ~ 17, c).
S) WEIERSTRASS selbst hat die nach ihm benannte Konstruktion zuerst 1879
gegeben, und zwar für die Extremalenschar durch den Punkt P1. Dabei ergeben sich jedoch gewisse Schwierigkeiten, da man es mit einem "uneigentlichen"
Feld zu tun hat (vgl. p. 104, Fußnote 1) und ~ 33, a). Um dieselben zu vermeiden,
hat ZERMELO (Dissertation, pp. 87, 88) statt dessen die Extremalenschar durch
einen jenseits von P1 gelegenen Punkt Po eingeführt. Die im Text gegebene
Verallgemeinerung auf ein beliebiges Feld rührt von KNESER her (Lehrbuch,
~~ 14, 17).
17*